Gruppoide (teoria delle categorie)

In matematica, un gruppoide è una struttura algebrica usata per generalizzare gruppi e azioni di gruppo.

Il concetto di gruppoide è stato introdotto da Heinrich Brandt nel 1927; spesso quindi tale entità viene chiamata gruppoide di Brandt.

Successivamente, inspirandosi alla teoria classica dei gruppi di Lie, in geometria differenziale è stata sviluppata una nozione di gruppoide dotato di una struttura differenziale compatibile, detto gruppoide di Lie.

Definizione

In senso algebrico, un gruppoide è definito come un insieme $G$ munito di una funzione parziale $\oplus$ e di una funzione totale ⁻¹ che soddisfano le seguenti condizioni per ogni $f$ e $g$ in $G$:

• $\oplus$ è associativa, cioè se esistono sia $f\oplus g$ che $g\oplus h$, allora $(f\oplus g)\oplus h$ e $f\oplus (g\oplus h)$ sono definite e coincidono;
• $f^{-1}\oplus f$ e $f\oplus f^{-1}$ sono sempre definite;
• Se $f\oplus g$ è definita, allora $f\oplus g\oplus g^{-1}=f$ e $f^{-1}\oplus f\oplus g=g$ (non è necessario specificare che sono definite, in quanto ciò segue banalmente dalle prime due condizioni).

In senso categoriale, un gruppoide è definito come una categoria piccola in cui tutti i morfismi sono invertibili. Denotando $G$ e $M$, rispettivamente, gli insiemi dei morfismi e degli oggetti, un gruppoide possiede le seguenti mappe di struttura:

• Una mappa sorgente $s:G\to M$, che associa ad ogni morfismo $g:x\to y$ il suo oggetto sorgente $x.$
• Una mappa bersaglio $t:G\to M$, che associa ad ogni morfismo $g:x\to y$ il suo oggetto bersaglio $y.$
• Una moltiplicazione parziale $m:G{\times }_{M}G\to G$, che associa a due morfismi compatibili $g_2:y\to z$ e $g_1:x\to y$ la loro composizione $g_2\cdot g_1:x\to z.$
• Una mappa unità $u:M\to G$, che associa ad ogni oggetto $x$ il morfismo identità ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_x.$
• Una mappa inversione $i:G\to G$, che associa ad ogni morfismo $g:x\to y$ il suo inverso $g^{-1}:y\to x.$

Un gruppoide viene spesso schematicamente rappresentato da $G\rightrightarrows M$ (le due frecce indicano le mappe sorgente e bersaglio).

Esempi e prime proprietà

Dato un gruppoide $G\rightrightarrows M$, si definisce orbita attraverso $x\in M$ l'insieme $𝒪(x):=t(s^{-1}(x))\subseteq M$ degli elementi di $M$ che si collegano ad $x$ tramite un morfismo di $G$. Le orbite di un gruppoide formano una partizione di $M$; un gruppoide è detto transitivo se ammette una sola orbita, cioè se ogni due punti di $M$ possono essere da morfismi.

L'insieme $G_x:=s^{-1}(x)\cap t^{-1}(x)\subseteq G$ dei morfismi che hanno sorgente e bersaglio uguale a $x$ è detto gruppo di isotropia in $x\in M$, e possiede una naturale struttura di gruppo. Se due oggetti $x$ e $y$ sono nella stessa orbita, i gruppi di isotropia $G_x$ e $G_y$ sono isomorfi. In particolare, tutti i gruppi di isotropia di un gruppoide transitivo sono isomorfi fra loro.

I concetti di morfismo di gruppoidi e di sottogruppoide sono definiti come i loro analoghi in teoria dei gruppi.

Ecco alcuni semplici esempi di gruppoidi:

• Ogni gruppo $G$ è un gruppoide $G\rightrightarrows \{*\}$ con un solo oggetto.
• Dato un insieme $M$, il gruppoide unità $M\rightrightarrows M$ è il gruppoide con $s=t={\mathrm{i}\mathrm{d}}_M$ e moltiplicazione triviale.
• Dato un insieme $M$, il gruppoide coppia $M\times M\rightrightarrows M$ è il gruppoide con sorgente $s(x,y)=y$, bersaglio $t(x,y)=x$ e moltiplicazione $(x,y)\cdot (y,z)=(x,z).$
• Data un'azione (per esempio sinistra) di un gruppo $G$ su un insieme $M,$ il gruppoide di azione $G\times M\rightrightarrows M$ è definito sorgente $s(g,x)=x$, bersaglio $t(g,x)=g\cdot x$ e moltiplicazione $(h,g\cdot x)\cdot (g,x)=(hg,x).$

Gruppoidi con strutture geometriche

Un gruppoide topologico è un gruppoide $G\rightrightarrows M$ in cui $G$ e $M$ sono spazi topologici, le mappe di struttura sono continue, e le mappe sorgente e bersaglio sono aperte. Questa nozione è la diretta generalizzazione di un gruppo topologico.

Analogamente, un gruppoide di Lie è un gruppoide topologico $G\rightrightarrows M$ in cui $G$ e $M$ sono varietà differenziabili, le mappe di struttura sono lisce, e le mappe sorgente e bersaglio sono summersioni. Questa nozione è la diretta generalizzazione di un gruppo di Lie. Come per i gruppi di Lie, è possibile studiare un gruppoide di Lie attraverso la sua controparte infinitesima, il suo algebroide di Lie, che generalizza il concetto di algebra di Lie.

Un gruppoide di Lie $G\rightrightarrows M$ può essere dotato di ulteriori strutture geometriche: è sufficiente equipaggiare la varietà $G$ con una struttura geometrica, e imporre un'appropriata condizione algebrica di compatibilità con la moltiplicazione. Questi tipi di gruppoidi sono strumenti fondamentali in geometria simplettica e geometria di Poisson e in teoria delle foliazioni.

Collegamenti esterni

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