Tensore energia impulso

Le componenti del tensore energia impulso.

Il tensore energia-impulso, anche detto tensore energia-quantità di moto, è un tensore definito nell'ambito della teoria della relatività. Esso descrive il flusso di energia e quantità di moto associate a un campo.

Definizione

Il tensore energia impulso è il tensore $T^{ik}$ del secondo ordine che fornisce il flusso della componente $i$-esima della quantità di moto attraverso una ipersuperficie $S_k$ con coordinate $x_k$ costanti. In relatività generale la quantità di moto è il quadrimpulso $P^i$, e dunque:

$P^i=\alpha \int T^{ik}d{S}_k$

dove $\alpha$ è un termine costante. Eseguendo l'integrale sull'iperpiano $x^0=\text{costante}$ si ha l'impulso in tre dimensioni:

$P^i=\alpha \int T^{i0}dV$

con $dV$ l'elemento di spazio tridimensionale e $dVdt$ il volume contenuto in $d{S}_k$.

Le componenti spaziali del tensore sono quindi le componenti tridimensionali dell'impulso classico, mentre la componente temporale è l'energia divisa per la velocità della luce: esso rappresenta il vettore energia-momento totale della regione di spazio a cui è esteso l'integrale.

Il tensore è utilizzato per esprimere la conservazione del quadrimpulso, fornita dall'equazione di continuità:

$\frac{\partial T_i^k}{\partial x^k}=0$

Infatti, esso corrisponde alla corrente di Noether associata alle traslazioni nello spaziotempo, e in relatività generale questa quantità agisce come sorgente della curvatura dello spaziotempo. Nello spaziotempo curvo l'integrale spaziale dipende dalla porzione di spazio in generale, e questo significa che non c'è modo di definire un vettore energia-momento globale in uno spaziotempo curvo generale.

Il tensore è inoltre simmetrico:

$T^{ik}=T^{ki}$

e la componente temporale è la densità di massa relativistica $\rho$, cioè la densità di energia divisa per la velocità della luce al quadrato:

$T^{00}=\rho$

Il flusso della massa relativistica attraverso la superficie $x^i$ è equivalente alla densità dell'i-esima componente della quantità di moto:

$T^{0i}=T^{i0}$

Le componenti spaziali di $T^{ik}$ rappresentano dunque il flusso della quantità di moto i-esima attraverso la superficie $x^k$. In particolare, $T^{ii}$ rappresenta la componente normale della tensione interna, detta pressione quando è indipendente dalla direzione, mentre $T^{ik}$ rappresenta lo sforzo di taglio.

Derivazione

Template:Vedi anche Si consideri un sistema in cui l'azione ha la forma data dall'integrale quadridimensionale:

$S=\int \lambda (q,\frac{\partial q}{\partial x^i},t)dVdt=\int \lambda d\mathrm{\Omega }$

dove $\lambda$ è la densità di lagrangiana relativa all'elemento di volume $dV$, funzione delle coordinate generalizzate, della loro derivata e del tempo. Il principio variazionale di Hamilton stabilisce che il moto di un sistema fisico fra due istanti dello spazio delle configurazioni è tale che l'azione sia stazionaria in corrispondenza della traiettoria del moto per piccole perturbazioni dello stesso, ovvero $\delta 𝒮=0$, e quindi:

$\begin{array}{cc}\delta S& =\frac{1}{c}\int (\frac{\partial \lambda }{\partial q}\delta q+\frac{\partial \lambda }{\partial (\frac{\partial q}{\partial x^i})}\delta \frac{\partial q}{\partial x^i})d\mathrm{\Omega }\\ & =\frac{1}{c}\int [\frac{\partial \lambda }{\partial q}\delta q+\frac{\partial }{\partial x^i}\left(\frac{\partial \lambda }{\partial (\frac{\partial q}{\partial x^i})}\delta q\right)-\delta q\frac{\partial }{\partial x^i}\frac{\partial \lambda }{\partial (\frac{\partial q}{\partial x^i})}]d\mathrm{\Omega }\\ & =0\end{array}$

Se si applica il teorema di Gauss e si considera l'integrale su tutto lo spazio, il secondo termine si annulla. L'equazione del moto assume allora la forma dell'equazioni di Eulero-Lagrange:

$\frac{\partial }{\partial x^i}\frac{\partial \lambda }{\partial (\frac{\partial q}{\partial x^i})}-\frac{\partial \lambda }{\partial q}=0$

dove l'indice ripetuto implica la sommatoria, secondo la notazione di Einstein. Sostituendo tale espressione all'interno di:

$\frac{\partial \lambda }{\partial x^i}=\frac{\partial \lambda }{\partial q}\frac{\partial q}{\partial x^i}+\frac{\partial \lambda }{\partial (\frac{\partial q}{\partial x^k})}\frac{\partial }{\partial x^i}\left(\frac{\partial q}{\partial x^k}\right)$

si ottiene:

$\frac{\partial \lambda }{\partial x^i}=\frac{\partial }{\partial x^k}\left(\frac{\partial \lambda }{\partial (\frac{\partial q}{\partial x^k})}\right)\frac{\partial q}{\partial x^i}+\frac{\partial \lambda }{\partial (\frac{\partial q}{\partial x^k})}\frac{\partial }{\partial x^k}\left(\frac{\partial q}{\partial x^i}\right)=\frac{\partial }{\partial x^k}\left(\frac{\partial q}{\partial x^i}\frac{\partial \lambda }{\partial (\frac{\partial q}{\partial x^k})}\right)$

Dato che $\frac{\partial \lambda }{\partial x^i}={\delta }_i^k\frac{\partial \lambda }{\partial x^k}$, si definisce il tensore energia impulso come:

$T_i^k=\frac{\partial q}{\partial x^i}\frac{\partial \lambda }{\partial (\frac{\partial q}{\partial x^k})}-{\delta }_i^k\lambda$

in modo che l'espressione assume la forma:

$\frac{\partial T_i^k}{\partial x^k}=0$

Il teorema della divergenza consente di trasformare l'integrale volumetrico di tale derivata in un flusso attraverso la ipersuperficie che delimita il volume:

$\int \frac{\partial T_i^k}{\partial x^k}d\mathrm{\Omega }=\alpha \int T^{ik}d{S}_k=P^i$

dove $P^i$ è il quadrimpulso del sistema e $\alpha$ un termine costante che si pone solitamente pari a $1/c$: la relazione stabilisce che $P^i$ si conserva.

Conservazione dell'energia

Scrivendo in modo esplicito le derivate dell'equazione di continuità $\partial T_i^k/\partial x^k=0$ si hanno le espressioni:

$\frac{1}{c}\frac{\partial T^{00}}{\partial t}+\frac{\partial T^{0\alpha }}{\partial x^{\alpha }}=0\frac{1}{c}\frac{\partial T^{\alpha 0}}{\partial t}+\frac{\partial T^{\alpha \beta }}{\partial x^{\beta }}=0$

Integrando l'equazione a sinistra sul volume $V$ e utilizzando il teorema della divergenza si ottiene:

$\frac{\partial }{\partial t}\int T^{00}dV=-c\int \frac{\partial T^{0\alpha }}{\partial x^{\alpha }}dV=-c\int T^{0\alpha }d{f}_{\alpha }$

Il primo termine è la variazione dell'energia contenuta nel volume $V$, il terzo rappresenta quindi la quantità di energia che fuoriesce dalla superficie che delimita il volume, quantificata come l'integrale su tutta la superficie del flusso infinitesimo attraverso l'elemento di superficie $d𝐟=(f_x,f_y,f_z)$. In elettrodinamica, la densità del flusso dell'energia associata al campo elettromagnetico è data dal vettore di Poynting.

Applicando il medesimo procedimento alle componenti spaziali del tensore si ottiene l'analoga equazione di continuità per l'impulso: per tale motivo le componenti spaziali del tensore energia-impulso costituiscono il tensore degli sforzi.

Il tensore energia impulso del campo elettromagnetico

Template:Vedi anche Il tensore energia impulso associato al campo elettromagnetico in un punto-universo privo di carica, detto tensore degli sforzi elettromagnetico, è definito nel sistema internazionale di unità di misura e nello spaziotempo di Minkowski piatto (ossia nell'approssimazione di campo (elettromagnetico e di altra natura) di debole intensità) come:

$T^{\mu \nu }=\frac{1}{{\mu }_0}[F^{\mu \alpha }{F}^{\nu }{}_{\alpha }-\frac{1}{4}{\eta }^{\mu \nu }{F}_{\alpha \beta }{F}^{\alpha \beta }]$

dove $F^{\mu \nu }$ è il tensore elettromagnetico. La forma matriciale esplicita (tensore simmetrico) è:

$T^{\mu \nu }=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{2}({\epsilon }_0{E}^2+\frac{1}{{\mu }_0}{B}^2)& S_x/c& S_y/c& S_z/c\\ S_x/c& -{\sigma }_{xx}& -{\sigma }_{xy}& -{\sigma }_{xz}\\ S_y/c& -{\sigma }_{yx}& -{\sigma }_{yy}& -{\sigma }_{yz}\\ S_z/c& -{\sigma }_{zx}& -{\sigma }_{zy}& -{\sigma }_{zz}\end{array}\right]$

dove $\overrightarrow{S}$ è il vettore di Poynting, ${\eta }_{\mu \nu }$ il tensore metrico dello spaziotempo di Minkowski:

${\eta }_{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

e ${\sigma }_{ij}$ il tensore degli sforzi di Maxwell:

${\sigma }_{ij}={\epsilon }_0{E}_i{E}_j+\frac{1}{{\mu }_0}{B}_i{B}_j-\frac{1}{2}\left({\epsilon }_0{E}^2+\frac{1}{{\mu }_0}{B}^2\right){\delta }_{ij}$

Si noti che $c^2=\frac{1}{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ dove c è la velocità della luce.

Il tensore energia-impulso associato al campo elettromagnetico puro in un punto-universo privo di carica in relatività generale entra nell'equazione di campo di Einstein nella quale il tensore energia-impulso deve contenere anche tutte le influenze dovute alla massa e agli altri campi presenti nell'universo.

Bibliografia

• Template:Cita libro
• Template:Cita libro
• Leonardo Ricci, "History of science: Dante's insight into galilean invariance", Nature 434, p. 717 7 aprile 2005.
• Tommaso Alberto Figliuzzi, Relatività e Causalità tra fisica e filosofia, Aracne Editrice, 2007.
• Bertrand Russell, L'ABC della relatività, 1925.

Voci correlate

• Azione (fisica)
• Campo elettromagnetico
• Equazione di continuità
• Principio variazionale di Hamilton
• Quadrimpulso
• Tensore degli sforzi elettromagnetico
• Teorema di Noether
• Vettore di Poynting

Collegamenti esterni

• Template:Cita web
• Template:Cita web
• Template:Cita web
• Template:En Reflections on Relativity — Un completo corso on line sulla Relatività.
• Template:Cita web
• Template:Cita web