Ipersuperficie

Template:S La nozione di ipersuperficie generalizza quella di iperpiano e di superficie. Si chiama ipersuperficie una qualunque varietà differenziabile o varietà algebrica di dimensione $n-1$ immersa in uno spazio (generalmente euclideo o affine o proiettivo) di dimensione $n$.

Definizione alternativa (in realtà è un caso particolare della definizione data sopra):

Data una funzione differenziabile $g:{ℝ}^n\to ℝ$ tale che per ogni $x\in {ℝ}^n$ se $g(x)=0$ allora $\mathrm{\nabla }g(x)\ne (0,\dots ,0)$ (cioè $0$ è un valore regolare), l'insieme di punti:

$S=\{x\in {ℝ}^n:g(x)=0\}$

definisce una ipersuperficie in ${ℝ}^n$.

Esempi

• Gli iperpiani, visti come varietà, sono esempi di ipersuperfici.
• Le superfici nello spazio tridimensionale sono ipersuperfici.
• Le curve sono ipersuperfici del piano.
• Il grafico di una funzione da ${ℝ}^n$ in $ℝ$ è una ipersuperficie in ${ℝ}^{n+1}$.