Quadrimpulso

Nella relatività ristretta il quadrimpulso è la generalizzazione quadrivettoriale della quantità di moto della meccanica classica, cioè un vettore dello spaziotempo quadrimensionale sempre tangente alla traiettoria, o linea d'universo, di una particella.

Come per ogni quadrivettore, è possibile distinguere le componenti spaziali da quella temporale: in un sistema di coordinate ortonormali la parte spaziale del quadrimpulso è formata dalle componenti dell'ordinaria quantità di moto moltiplicata per il fattore di Lorentz, mentre la parte temporale è data dall'energia della particella divisa per la velocità della luce.

Definizione

Data una particella con velocità $𝐯=(v_x,v_y,v_z)$, il corrispondente quadrimpulso è dato da:

$p^{\mu }=\left(\begin{array}{c}{p}^0\\ p^1\\ p^2\\ p^3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}E/c\\ p^1\\ p^2\\ p^3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\gamma mc\\ \gamma p^x\\ \gamma p^y\\ \gamma p^z\end{array}\right)=m\gamma \left(\begin{array}{c}c\\ v^x\\ v^y\\ v^z\end{array}\right):=m{u}^{\mu }$

dove $u^{\mu }=(u^0,u^1,u^2,u^3)=\gamma (c,𝐯)$ sono le componenti della quadrivelocità, $m$ è la massa a riposo, $\gamma$ è il fattore di Lorentz, $𝐯=(v^x,v^y,v^z)$ e $𝐩=(p^x,p^y,p^z)$ sono gli usuali vettori tridimensionali velocità e quantità di moto, e c è la velocità della luce. Le componenti spaziali di $p^{\mu }$ sono dunque le componenti della quantità di moto classica $𝐩$ moltiplicata per il fattore $\gamma$.

Derivazione

Sia $x^{\mu }=(x^0,x^1,x^2,x^3)=(ct,x,y,z)$ il quadrivettore posizione, che identifica la posizione della particella rispetto ad un sistema di riferimento inerziale, il sistema del laboratorio. Differenziando si ha:

$\text{d}{x}^{\mu }=\left(\begin{array}{c}c\text{d}t\\ \text{d}x\\ \text{d}y\\ \text{d}z\end{array}\right)$

Il tempo proprio è il tempo che misurerebbe un orologio posto su una particella in moto vario nello spaziotempo come se si muovesse di moto rettilineo uniforme. In simboli:

$(\text{d}\tau {)}^2:=-\frac{(\text{d}s{)}^2}{c^2}=-\frac{{\eta }_{\mu \nu }\text{d}{x}^{\mu }\text{d}{x}^{\nu }}{c^2}=\frac{1}{c^2}(c^2\text{d}{t}^2-\text{d}{x}^2-\text{d}{y}^2-\text{d}{z}^2)=$

$=\text{d}{t}^2(1-\frac{(v^x{)}^2+(v^y{)}^2+(v^z{)}^2}{c^2})=\frac{\text{d}{t}^2}{{\gamma }^2}$

dove ${\eta }_{\mu \nu }$ indica il tensore metrico dello spazio-tempo di Minkowski, utilizzando la segnatura $(-,+,+,+)$. Si ha pertanto:

$\text{d}\tau =\frac{\text{d}t}{\gamma }\text{d}t=\gamma \text{d}\tau$

Il tempo proprio è una grandezza che permette di parametrizzare la traiettoria di un corpo, in quanto è un invariante sotto trasformazioni di Lorentz (poiché $(\text{d}\tau {)}^2$ è proporzionale a $(\text{d}s{)}^2$).

La quadrivelocità è data da:

$u^{\mu }=\frac{\text{d}{x}^{\mu }}{\text{d}\tau }$

ed utilizzando la formula di derivazione composta può essere espressa in funzione dell'ordinaria velocità $𝐯$:

$u^{\mu }:=\frac{\text{d}{x}^{\mu }}{\text{d}\tau }=\frac{\text{d}{x}^{\mu }}{\text{d}t}\frac{\text{d}t}{\text{d}\tau }=\gamma \frac{\text{d}{x}^{\mu }}{\text{d}t}=\gamma \left(\begin{array}{c}c\\ v^x\\ v^y\\ v^z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\gamma c\\ \gamma v^x\\ \gamma v^y\\ \gamma v^z\end{array}\right)$

La quadriquantità di moto è dunque definita, similmente al corrispettivo classico, come il prodotto tra la quadrivelocità e la massa a riposo $m$ del corpo.

Dal quadrimpulso si definisce la quadriforza.

Conservazione dell'energia

L'energia di una particella è definita come la velocità della luce moltiplicata per la componente temporale del quadrimpulso $(p^0=\gamma mc,𝐩=\gamma m𝐮)$, ovvero:

$E=\gamma m{c}^2=\frac{m{c}^2}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$

ed è una quantità che dipende dalla velocità $|𝐮|=u$. Analizzando lo scattering elastico tra due particelle identiche, ed espandendo in serie di Taylor per piccoli angoli l'energia del sistema, si giunge a dimostrare che se l'energia si conserva allora:

$E(u)=\frac{m{c}^2}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}+E(0)-m{c}^2$

Si tratta dell'estensione relativistica dell'energia cinetica, più una quantità di energia costante pari a $E(0)=m{c}^2$, che rappresenta l'energia a riposo della particella, interpretabile come quell'energia che la particella ferma possiede per il fatto di avere massa.

La velocità è espressa in termini del quadrimpulso con la relazione:

$𝐮=\frac{c^2𝐩}{E}$

e dal fatto che la quantità:

$(p^0{)}^2-𝐩\cdot 𝐩=(mc{)}^2$

è invariante, segue che:

$E=\sqrt{c^2{p}^2+m^2{c}^4}$

Norma quadra

Nello spaziotempo di Minkowski la norma di un quadrivettore è un invariante di Lorentz:

$\Vert 𝐩{\Vert }^2=p^{\mu }{p}_{\mu }=m^2{\gamma }^2(-c^2+((v^x{)}^2+(v^y{)}^2+(v^z{)}^2))=-m^2\frac{c^2}{c^2-v^2}(c^2-v^2)=-m^2{c}^2.$

In modo equivalente:

$-\Vert 𝐏{\Vert }^2=-P^{\mu }{P}_{\mu }=-{\eta }_{\mu \nu }{P}^{\mu }{P}^{\nu }=\frac{E^2}{c^2}-|\overrightarrow{p}{|}^2=m^2{c}^2$

Quest'ultima quantità coincide con la massa invariante del sistema. Il risultato è prevedibile considerando il fatto che i quadrivettori velocità hanno norma quadrata $-c^2$ e il quadrimpulso è un quadrivettore velocità per uno scalare $m$. La norma quadrata negativa implica che i quadrivettori velocità e impulso siano di tipo tempo, e cambiando il segno alla segnatura $(+,-,-,-)$ la norma quadra cambia di segno.

Conservazione del quadrimpulso

La conservazione del quadrimpulso nei sistemi isolati è uno dei principi fondamentali della dinamica relativistica. Esso include, per basse velocità, le leggi classiche della conservazione dell'energia e della quantità di moto: si conserva l'energia totale, pari a $p^{0}c$ e si conserva la quantità di moto del sistema, pari alle componenti spaziali del quadrivettore.

Se la massa non cambia, il prodotto interno nello spaziotempo di Minkowski tra il quadrimpulso e la relativa quadriaccelerazione $A^{\mu }$ è nullo. Infatti, l'accelerazione è proporzionale alla derivata del quadrimpulso rispetto al tempo proprio, divisa per la massa della particella, e pertanto:

$P^{\mu }{A}_{\mu }={\eta }_{\mu \nu }{P}^{\mu }{A}^{\nu }={\eta }_{\mu \nu }{P}^{\mu }\frac{d}{d\tau }\frac{P^{\nu }}{m}=\frac{1}{2m}\frac{d}{d\tau }\Vert 𝐏{\Vert }^2=\frac{1}{2m}\frac{d}{d\tau }(-m^2{c}^2)=0$

Si noti che la massa a riposo può non conservarsi, mentre si conserva la massa relativistica (che non è altro che l'energia). Per esempio, durante un urto tra particelle subatomiche, se due particelle di masse a riposo uguali $m$ che viaggiano l'una a $0.5c$ e l'altra in senso opposto a $0.66c$ si fondono nell'impatto in una sola particella, questa viaggerà ad una velocità pari a $0.127c$ e avrà una massa $M=2.476m$, ben maggiore della somma delle masse iniziali. D'altra parte, la somma delle due masse relativistiche, pari ciascuna a $1.154m$ e $1.342m$ fornisce direttamente per la massa relativistica della particella risultante $2.496m$, correttamente pari alla massa a riposo moltiplicata per il fattore di Lorentz relativo (circa 1.0081).

Bibliografia

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• Template:Cita libro See Chapter III for the orthogonal groups O(p,q).
• Template:Cita libro A canonical reference; see chapters 1-6 for representations of the Lorentz group.
• Template:Cita libro An excellent resource for Lie theory, fiber bundles, spinorial coverings, and many other topics.
• Template:Cita libro See Chapter 6 for the subalgebras of the Lie algebra of the Lorentz group.
• Template:Cita libro See also the Template:Cita web See Section 1.3 for a beautifully illustrated discussion of covering spaces. See Section 3D for the topology of rotation groups.
• Template:Cita libro An excellent reference on Minkowski spacetime and the Lorentz group.
• Template:Cita libro See Chapter 3 for a superbly illustrated discussion of Möbius transformations.

Voci correlate

• Composizione delle velocità
• Quadrivettore
• Quadrivelocità
• Quantità di moto
• Spaziotempo di Minkowski
• Teoria della relatività
• Trasformazioni galileiane
• Trasformazione di Lorentz

Collegamenti esterni

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