Spazio di de Sitter

In matematica e fisica, uno spazio di de Sitter è l'analogo, nello spaziotempo di Minkowski, di una sfera nell'ordinario spazio euclideo. Uno spazio di de Sitter n-dimensionale, denotato dS_n, è la varietà lorentziana analoga ad una n-sfera (con la sua metrica Riemanniana canonica); esso è massimamente simmetrico, ha una curvatura scalare costante e positiva ed è semplicemente connesso per n ≥3. Lo spazio de Sitter, così come lo spazio anti de Sitter prende il nome da Willem de Sitter (1872–1934), professore di astronomia alla Università di Leida e direttore dell'Osservatorio di Leida. Willem de Sitter e Albert Einstein lavorarono insieme negli anni 20 del 900 a Leida sulla struttura spazio-temporale dell'universo.

Nel linguaggio della relatività generale, lo spazio di de Sitter è una soluzione di vuoto massimamente simmetrica delle equazioni di campo di Einstein, avente una costante cosmologica positiva (repulsiva) $\mathrm{\Lambda }$ (corrispondente ad una densità di energia del vuoto positiva e pressione negativa). Nel caso Template:Tutto attaccato (3 dimensioni spaziali più tempo), esso è il modello cosmologico dell'universo fisico, detto universo di de Sitter.

Lo spazio di de Sitter fu formulato indipendentemente e contemporaneamente da Willem de Sitter e Tullio Levi-Civita.

Definizione

Lo spazio di de Sitter può essere definito come una sottovarietà di uno spazio di Minkowski aumentato di una dimensione. Si consideri lo spazio di Minkowski R^1,n con la metrica standard:

$d{s}^2=-d{x}_0^2+\sum _{i=1}^{n}d{x}_i^2.$

Lo spazio di de Sitter dS_n è la sottovarietà descritta da un iperboloide a una falda

$-x_0^2+\sum _{i=1}^n{x}_i^2={\alpha }^2,$

dove $\alpha$ è una costante positiva.

La metrica standard

$d{s}^2=-d{x}_0^2+\sum _{i=1}^{n}d{x}_i^2$

dello spazio ambiente R^1,n induce sulla sottovarietà di de Sitter una forma bilineare non degenere che ha ancora segnatura lorentziana. Lo spazio di de Sitter è dunque una varietà pseudo-riemanniana.

Lo spazio di De Sitter può anche essere definito come il quoziente topologico Template:Tutto attaccato di due gruppi pseudo ortogonali, e questo mostra che esso è una varietà pseudo-Riemanniana simmetrica.

Dal punto di vista topologico, lo spazio di de Sitter è il prodotto Template:Tutto attaccato (per cui se Template:Tutto attaccato allora lo spazio di de Sitter risulta semplicemente connesso).

Proprietà

Il gruppo di isometrie dello spazio de Sitter è il gruppo di Lorentz O(1,n). La metrica ha quindi n(n + 1)/2 vettori di Killing indipendenti ed è al massimamente simmetrica. Ogni spazio massimamente simmetrico ha curvatura costante. Il tensore di curvatura di Riemann per de Sitter è dato da

$R_{\rho \sigma \mu \nu }=\frac{1}{{\alpha }^2}(g_{\rho \mu }{g}_{\sigma \nu }-g_{\rho \nu }{g}_{\sigma \mu })$

Lo spazio di de Sitter è una varietà di Einstein poiché il tensore di Ricci è proporzionale alla metrica:

$R_{\mu \nu }=\frac{n-1}{{\alpha }^2}{g}_{\mu \nu }$

Ciò significa che lo spazio di de Sitter è una soluzione del vuoto delle equazioni di campo di Einstein, avente una costante cosmologica positiva data da:

$\mathrm{\Lambda }=\frac{(n-1)(n-2)}{2{\alpha }^2}.$

La curvatura scalare dello spazio di de Sitter è data da:

$R=\frac{n(n-1)}{{\alpha }^2}=\frac{2n}{n-2}\mathrm{\Lambda }.$

Per il caso n = 4, abbiamo Λ = 3/α² e R = 4Λ = 12/α².

Coordinate statiche

Si possono introdurre delle coordinate statiche $(t,r,\dots )$ per lo spazio de Sitter come segue:

$x_0=\sqrt{{\alpha }^2-r^2}\sinh (t/\alpha )$

$x_1=\sqrt{{\alpha }^2-r^2}\cosh (t/\alpha )$

$x_i=r{z}_{i}2\le i\le n,$

dove le coordinate $z_i$ realizzano l'immersione canonica della (n−2)-sfera in Rⁿ⁻¹. In queste coordinate la metrica de Sitter prende la forma:

$d{s}^2=-(1-\frac{r^2}{{\alpha }^2})d{t}^2+{(1-\frac{r^2}{{\alpha }^2})}^{-1}d{r}^2+r^{2}d{\mathrm{\Omega }}_{n-2}^2.$

È interessante notare che è presente un orizzonte cosmologico per $r=\alpha$.

Taglio di coordinate piatto

Posto

$x_0=\alpha \sinh (t/\alpha )+r^2{e}^{t/\alpha }/2\alpha ,$

$x_1=\alpha \cosh (t/\alpha )-r^2{e}^{t/\alpha }/2\alpha ,$

$x_i=e^{t/\alpha }{y}_i,2\le i\le n$

dove $r^2=\sum _i{y}_i^2$. Allora in coordinate metriche $(t,y_i)$:

$d{s}^2=-d{t}^2+e^{2t/\alpha }d{y}^2$

dove $d{y}^2=\sum _{i}d{y}_i^2$ è la metrica piatta $y_i$.

Taglio di coordinate aperto

Posto

$x_0=\alpha \sinh (t/\alpha )\cosh \xi ,$

$x_1=\alpha \cosh (t/\alpha ),$

$x_i=\alpha z_i\sinh (t/\alpha )\sinh \xi ,2\le i\le n$

dove $\sum _i{z}_i^2=1$ descrive $S^{n-2}$ con la metrica standard $\sum _{i}d{z}_i^2=d{\mathrm{\Omega }}_{n-2}^2$. Allora la metrica de Sitter si legge:

$d{s}^2=-d{t}^2+{\alpha }^2{\sinh }^2(t/\alpha )d{H}_{n-1}^2,$

dove

$d{H}_{n-1}^2=d{\xi }^2+{\sinh }^2\xi d{\mathrm{\Omega }}_{n-2}^2$

è la metrica di uno spazio Euclideo iperbolico.

Taglio di coordinate chiuso

Posto

$x_0=\alpha \sinh (t/\alpha ),$

$x_i=\alpha \cosh (t/\alpha )z_i,1\le i\le n$

dove $z_i$s descrive $S^{n-1}$. La metrica si legge:

$d{s}^2=-d{t}^2+{\alpha }^2{\cosh }^2(t/\alpha )d{\mathrm{\Omega }}_{n-1}^2.$

Cambiando la variabile tempo al tempo conformazionale tramite $\tan (\eta /2)=\tanh (t/2\alpha )$ si ottiene una metrica equivalente a universo statico di Einstein:

$d{s}^2=\frac{{\alpha }^2}{{\cos }^2\eta }(-d{\eta }^2+d{\mathrm{\Omega }}_{n-1}^2).$

Questo serve per trovare il diagramma di Penrose dello spazio de Sitter.

Taglio di coordinate dS

Posto

$x_0=\alpha \sin (\chi /\alpha )\sinh (t/\alpha )\cosh \xi ,$

$x_1=\alpha \cos (\chi /\alpha ),$

$x_2=\alpha \sin (\chi /\alpha )\cosh (t/\alpha ),$

$x_i=\alpha z_i\sin (\chi /\alpha )\sinh (t/\alpha )\sinh \xi ,3\le i\le n$

dove $z_i$s descrive $S^{n-3}$. La metrica si legge:

$d{s}^2=d{\chi }^2+{\sin }^2(\chi /\alpha )d{s}_{dS,\alpha ,n-1}^2,$

dove

$d{s}_{dS,\alpha ,n-1}^2=-d{t}^2+{\alpha }^2{\sinh }^2(t/\alpha )d{H}_{n-2}^2$

è la metrica di uno spazio $n-1$ dimensionale de Sitter con raggio di curvatura $\alpha$ in coordinate aperte. La metrica iperbolica è data da:

$d{H}_{n-2}^2=d{\xi }^2+{\sinh }^2\xi d{\mathrm{\Omega }}_{n-3}^2.$

Questa è la continuazione analitica del taglio di coordinate aperto sotto $(t,\xi ,\theta ,{\varphi }_1,{\varphi }_2,\cdots ,{\varphi }_{n-3})\to (i\chi ,\xi ,it,\theta ,{\varphi }_1,\cdots ,{\varphi }_{n-4})$ anche commutando $x_0$ and $x_2$ perché cambiano la loro natura spazio temporale.

Bibliografia

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Voci correlate

• Buco nero
• Buco nero di Planck
• Buco nero di Kerr-Newman
• Disco di accrescimento
• Ergosfera
• Flusso oscuro
• Buco nero AdS
• Spazio anti de Sitter
• Universo di de Sitter
• corrispondenza AdS/CFT