Curvatura scalare

In geometria differenziale la curvatura scalare (o scalare di Ricci) è il più semplice invariante di curvatura di una varietà riemanniana. Ad ogni punto della varietà essa associa un numero reale determinato dalla geometria intrinseca della varietà intorno a quel punto. La curvatura scalare è definita a partire dal tensore di curvatura di Ricci, che è a sua volta definito a partire dal tensore di Riemann.

Definizione

Sia $M$ una varietà riemanniana o varietà pseudo-riemanniana. La curvatura scalare è una funzione differenziabile che associa ad ogni punto di $M$ un numero reale, definito contraendo i due indici del tensore di curvatura di Ricci nel modo seguente:

$R=g^{ij}{R}_{ij}.$

Il tensore di curvatura di Ricci è un tensore di tipo $(0,2)$, ovvero una forma bilineare. La curvatura scalare è la traccia di questa forma bilineare. Per calcolare la traccia è necessario fare uso del tensore metrico $g$, presente nella formula.

La curvatura scalare è un tensore di tipo $(0,0)$, ovvero una funzione.

Proprietà

Simboli di Christoffel

In un sistema di coordinate, la curvatura scalare dipende dai simboli di Christoffel e dalle loro derivate parziali nel modo seguente:

$R=g^{ab}(\frac{\partial {\mathrm{\Gamma }}_{ab}^c}{\partial x_c}-\frac{\partial {\mathrm{\Gamma }}_{ac}^c}{\partial x_b}+{\mathrm{\Gamma }}_{ab}^c{\mathrm{\Gamma }}_{cd}^d-{\mathrm{\Gamma }}_{ac}^d{\mathrm{\Gamma }}_{bd}^c)$

Volume

La curvatura scalare può essere interpretata geometricamente come un numero che misura il modo in cui è distorto il volume intorno ad un punto.

Quando la curvatura scalare in un punto è positiva, il volume di una piccola palla centrata nel punto $p$ della varietà riemanniana $M$ ha volume minore di una palla dello stesso raggio nello spazio euclideo. D'altra parte, se la curvatura scalare è negativa, la palla ha volume maggiore. Da un punto di vista quantitativo, questa relazione può essere espressa come segue. Il rapporto fra i volumi di una palla di raggio $\epsilon$ è dato da

$\frac{\mathrm{Vol}(B_{\epsilon }(p)\subset M)}{\mathrm{Vol}(B_{\epsilon }(0)\subset {ℝ}^n)}=1-\frac{R}{6(n+2)}{\epsilon }^2+O({\epsilon }^4)$

La derivata seconda di questo rapporto, valutata in $\epsilon =0$, è esattamente

$-\frac{R}{3(n+2)}.$

Analogamente, i bordi di queste palle sono delle $(n-1)$-sfere, le cui aree soddisfano la relazione seguente:

$\frac{\mathrm{Area}(\partial B_{\epsilon }(p)\subset M)}{\mathrm{Area}(\partial B_{\epsilon }(0)\subset {ℝ}^n)}=1-\frac{R}{6n}{\epsilon }^2+O({\epsilon }^4)$

Oggetto riemanniano

A differenza del tensore di Riemann e del tensore di Ricci, la curvatura scalare necessita fortemente del tensore metrico $g$ per essere definita. Non esiste quindi una definizione di curvatura scalare nel contesto più ampio delle connessioni.

Esempi

Superficie

In una superficie la curvatura scalare è pari alla curvatura gaussiana $K$ moltiplicata per due:

$R=2K.$

Sfera

La curvatura scalare di una ipersfera $S^n$ di raggio $r$ è costante in ogni punto, ed è pari a

$\frac{n(n-1)}{r^2}.$

Bibliografia

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Voci correlate

• Tensore di curvatura di Ricci
• Tensore di Riemann
• Teorema di Vermeil