Campo vettoriale di Killing

Template:S In matematica, un campo vettoriale di Killing è un campo vettoriale su una varietà riemanniana (o pseudo-riemanniana) che preserva la metrica. I campi di Killing sono i generatori infinitesimali delle isometrie.

I vettori di Killing sono chiamati così in onore di Wilhelm Killing.

Definizione

Un campo vettoriale X si dice campo di Killing se la derivata di Lie della metrica g lungo X è nulla:

${ℒ}_{X}g=0.$

In termini della connessione di Levi-Civita questa equazione si scrive come:

$g({\mathrm{\nabla }}_{Y}X,Z)+g(Y,{\mathrm{\nabla }}_{Z}X)=0$

per ogni vettore Y e Z. In coordinate locali, equivale all'equazione di Killing,

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{X}_{\nu }+{\mathrm{\nabla }}_{\nu }{X}_{\mu }=0.$

Questa condizione è espressa in forma covariante. Pertanto, è sufficiente stabilirla in un sistema di coordinate e sarà valida in ogni altro.

In una varietà n-dimensionale, esistono al più n(n+1)/2 vettori di Killing indipendenti.

Esempi

In ${ℝ}^2$ con la metrica $d{s}^2=d{x}^2+d{y}^2$, esistono 3 vettori di Killing, che corrispondono alle due traslazioni lungo gli assi coordinati e alla rotazione rispetto all'origine.

Nella 2-sfera con la metrica $d{s}^2=d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2$, esistono 3 vettori di Killing, che corrispondono alle rotazioni nello spazio.

In generale, i vettori di Killing chiudono un'algebra di Lie, e le isometrie da essi generate formano un gruppo. Nella 2-sfera, si ha il gruppo SU(2), mentre nello spaziotempo con la metrica di Minkowski si ha il gruppo di Poincaré.

Bibliografia

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Voci correlate

• Campo vettoriale affine
• Simmetrie dello spaziotempo