Forma bilineare

Template:Nd In matematica, più precisamente in algebra lineare, una forma bilineare è una mappa bilineare a valori in un campo. Si tratta di una funzione definita sul prodotto cartesiano di due spazi vettoriali che è lineare in entrambe le componenti.

Definizione

Siano $V$ e $W$ spazi vettoriali su $K$ e $V\times W$ il loro prodotto cartesiano. Una forma bilineare sul campo $K$ è una mappa

$\varphi :V\times W\to K$

che associa ad ogni coppia di elementi $𝐯\in V$ e $𝐰\in W$ lo scalare $\varphi (𝐯,𝐰)\in K$ ed è lineare su entrambe le componenti, cioè:

$\varphi ({𝐯}_1+{𝐯}_2,𝐰)=\varphi ({𝐯}_1,𝐰)+\varphi ({𝐯}_2,𝐰)\mathrm{\forall }{𝐯}_1,{𝐯}_2\in V\mathrm{\forall }𝐰\in W$

$\varphi (𝐯,{𝐰}_1+{𝐰}_2)=\varphi (𝐯,{𝐰}_1)+\varphi (𝐯,{𝐰}_2)\mathrm{\forall }{𝐰}_1,{𝐰}_2\in W\mathrm{\forall }𝐯\in V$

$\varphi (a𝐯,𝐰)=\varphi (𝐯,a𝐰)=a\varphi (𝐯,𝐰)\mathrm{\forall }𝐯\in V\mathrm{\forall }𝐰\in W\mathrm{\forall }a\in K$

Fissato uno dei due argomenti, la funzione è lineare rispetto all'altro.

Se $V$ e $W$ coincidono, la forma si dice bilineare su $V$ (o su $W$).

Rappresentazione in coordinate

Se $V$ ha dimensione n finita, ogni forma bilineare $\varphi$ su $V$ può essere rappresentata come una matrice quadrata di ordine n. Come per le applicazioni lineari, per fare ciò è necessario scegliere una base $\{{𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_n\}$ per $V$, in quanto la matrice risultante dipende dalla base scelta.

La matrice $B$ è definita per elementi da:

$b_{ij}=\varphi ({𝐯}_i,{𝐯}_j)$

L'azione della forma bilineare su due vettori $𝐮$ e $𝐰$ di $V$ si ricava nel modo seguente, tramite moltiplicazione tra matrici:

$\varphi (𝐮,𝐰)={𝐮}^T𝐁𝐰=\sum _{i,j=1}^n{b}_{ij}{u}_i{w}_j$

dove $u_i$ e $w_j$ sono le coordinate di $𝐮$ e $𝐰$ rispetto alla base.

Relazione con lo spazio duale

Ogni forma bilineare $\varphi$ su $V$ definisce una coppia di mappe lineari da $V$ nel suo spazio duale $V^{*}$. Si definiscano nel modo seguente:

${\varphi }_1:V\to V^{*}{\varphi }_1(𝐯)(𝐰)=\varphi (𝐯,𝐰)$

${\varphi }_2:V\to V^{*}{\varphi }_2(𝐯)(𝐰)=\varphi (𝐰,𝐯)$

In altre parole, ${\varphi }_1(𝐯)$ è l'elemento di $V^{*}$ che manda $𝐰$ in $\varphi (𝐯,𝐰)$.

Per denotare la posizione dell'argomento nella mappa lineare risultante, si usa la notazione:

${\varphi }_1(𝐯)=\varphi (𝐯,\cdot )$

${\varphi }_2(𝐯)=\varphi (\cdot ,𝐯)$

Ogni mappa lineare $T:V\to V^{*}$ definisce analogamente una funzione bilineare:

$\varphi (𝐯,𝐰)=T(𝐯)(𝐰)$

Forme simmetriche e antisimmetriche

Una forma bilineare $\varphi :V\times V\to K$ è detta simmetrica se:

$\varphi (𝐯,𝐰)=\varphi (𝐰,𝐯)$

per ogni $𝐯$ e $𝐰$ in $V$. È invece detta antisimmetrica o alternante se:

$\varphi (𝐯,𝐰)=-\varphi (𝐰,𝐯)$.

Una forma bilineare $\varphi$ è simmetrica se e solo se la matrice associata $B$ (rispetto ad una base qualsiasi) è simmetrica, ed è antisimmetrica se e solo se la matrice associata è antisimmetrica.

Se la forma bilineare è simmetrica, le due mappe ${\varphi }_1$ e ${\varphi }_2$ definite sopra coincidono.

Se $K$ non ha caratteristica 2, allora una caratterizzazione equivalente di una forma antisimmetrica è:

$\varphi (𝐯,𝐯)=0$

per ogni $𝐯\in V$. In caso contrario, la condizione precedente è solo sufficiente.

Prodotto scalare

Template:Vedi anche Una forma bilineare simmetrica è spesso chiamata prodotto scalare. Altri autori definiscono invece il prodotto scalare come una forma bilineare simmetrica a valori nel campo $ℝ$ dei numeri reali che sia definita positiva, ovvero con $\varphi (𝐯,𝐯)>0$ per ogni $𝐯$ diverso da zero, e $\varphi (\mathrm{𝟎},\mathrm{𝟎})=0$.

Forma degenere

Una forma bilineare $\varphi$ definita su uno spazio $V$ di dimensione finita è degenere se la matrice $B$ che la rappresenta rispetto ad una base ha determinante nullo. Altrimenti, è detta non degenere. La definizione non dipende dalla base scelta per rappresentare la forma come matrice.

I fatti seguenti sono equivalenti:

• La forma bilineare $\varphi$ è degenere.
• Esiste un vettore $𝐯$ non nullo tale che $\varphi (𝐯,𝐰)=0$ per ogni $𝐰$.
• Esiste un vettore $𝐰$ non nullo tale che $\varphi (𝐯,𝐰)=0$ per ogni $𝐯$.

Esempi

• Il prodotto scalare canonico fra vettori del piano o dello spazio euclideo è una forma bilineare simmetrica.
• Sia $C[0,1]$ lo spazio vettoriale delle funzioni continue sull'intervallo $[0,1]$, a valori reali. Un esempio di forma bilineare simmetrica definita su $C[0,1]$ è data da:

$\varphi (f,g)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)g(x)dx$

Bibliografia

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Voci correlate

• Forma quadratica
• Forma sesquilineare
• Prodotto scalare
• Spazio duale
• Trasformazione lineare

Collegamenti esterni

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