Presentazione di un gruppo

In matematica, e in particolare in algebra astratta, una presentazione di un gruppo è una particolare definizione ottenuta mediante l'elenco dei generatori del gruppo, ovvero degli elementi il cui prodotto combinato dà origine a tutti gli elementi del gruppo, e delle relazioni tra i vari elementi. Indicando l'insieme dei generatori con $S$ e l'insieme delle relazioni con $R$, la presentazione di un gruppo si indica con

$⟨S\mid R⟩.$

Definizione

La definizione formale di una presentazione necessita di alcune definizioni preliminari, che vengono date nel seguito.

Parole

Consideriamo un insieme $I$; per ogni $x\in I$ definiamo un ulteriore elemento $x^{-1}$; una parola è qualunque prodotto formale finito

$y_1{y}_2\dots y_n,$

dove $y=x$ oppure $y=x^{-1}$, con $x\in I$. Definiamo anche la parola vuota come il prodotto formato da nessun fattore.

Una parola è detta ridotta se non esistono due elementi $x$ e $x^{-1}$ contigui. È sempre possibile ottenere una parola ridotta eliminando tali elementi contigui (ovvero sostituendoli con la parola vuota); due parole sono considerate equivalenti se generano la stessa parola ridotta. Possiamo inoltre utilizzare le seguenti scritture abbreviate:

$\begin{array}{ccc}{x}^n& =& \underbrace{xx\dots x}\\ & & n\text{ volte}\\ x^{-n}& =& \underbrace{x^{-1}{x}^{-1}\dots x^{-1}}.\\ & & n\text{ volte}\end{array}$

Gruppo libero

Definiamo come prodotto tra due parole ridotte la parola che si ottiene concatenando le due parole di partenza, e riducendo se necessario il risultato finale. L'insieme delle parole ridotte dotato di questa operazione è un gruppo chiamato gruppo libero sull'insieme $I$ e indicato con $⟨I⟩$. L'elemento neutro è la parola vuota, mentre l'inverso di una parola è ottenuto scrivendo i fattori in ordine inverso e scambiando il fattore $x$ con il fattore $x^{-1}$ e viceversa.

Presentazione di un gruppo

Consideriamo un insieme $S$, il gruppo libero $⟨S⟩$ e un sottoinsieme $R\subseteq ⟨S⟩$ formato da parole di $S$. Il gruppo di presentazione $⟨S\mid R⟩$ è definito come il più grande gruppo quoziente di $⟨S⟩$ tale che ogni elemento di $R$ è identificato con l'identità.

Detto $N$ il più piccolo sottogruppo normale contenente $R$ (chiusura normale di $R$), si dimostra che:

$⟨S\mid R⟩=\frac{⟨S⟩}{N}.$

Gli elementi di $S$ sono detti generatori di $⟨S\mid R⟩$, gli elementi di $R$ sono detti relatori; questi elementi esprimono in effetti delle relazioni di uguaglianza tra gli elementi di $S$, che nella loro forma più semplice possono essere espressi come $x=1$, dove $x\in R$ e $1$ è l'identità di $⟨S\mid R⟩$.

Presentazioni finite

Una presentazione $⟨S\mid R⟩$ è detta finitamente generata se l'insieme $S$ dei generatori è finito, finitamente relazionata se è finito l'insieme $R$ delle relazioni, finita se sono finiti sia $S$ che $R$.

Ogni gruppo finito possiede una presentazione finita, che si ricava direttamente dalla sua tavola di composizione: è sufficiente prendere $S=G$ e $R$ come l'insieme formato da tutti gli elementi del tipo $g_i{g}_j{g}_k^{-1}$, dove $g_i{g}_j=g_k$ è una entrata della tavola di composizione.

Presentazione ricorsiva

Se $S$ è indicizzato da un insieme $I\subseteq \mathbb{N}$, esiste una funzione biiettiva $f:⟨S⟩\to \mathbb{N}$ e un algoritmo che, dato $f(w)\in \mathbb{N}$ permette di trovare $w\in ⟨S⟩$ e viceversa (numerazione di Gödel). Dato un insieme $U\subseteq ⟨S⟩$, diciamo che $U$ è ricorsivo o ricorsivamente numerabile se lo è $f(U)\in \mathbb{N}$.

Se l'insieme delle relazioni è ricorsivamente numerabile, la presentazione è detta ricorsiva; in questo caso è sempre possibile trovare una presentazione del gruppo per cui l'insieme delle relazioni è ricorsivo (giustificando la sovrapposizione delle due notazioni).

Ogni gruppo finito ha una presentazione ricorsiva, mentre non è vero l'inverso. Un teorema dovuto a Graham Higman stabilisce che un gruppo finitamente generato ha una presentazione ricorsiva se e solo se è immerso in un gruppo a presentazione ricorsiva. Segue che, a meno di isomorfismi, esiste solo una quantità numerabile di gruppi a presentazione ricorsiva. Bernhard Neumann ha mostrato che esiste una quantità più che numerabile di gruppi a due generatori; pertanto esistono gruppi finitamente generati che non possono essere presentati ricorsivamente.

Proprietà

Per le presentazioni di un gruppo valgono le seguenti proprietà:

• ogni gruppo ha una presentazione;
• ogni gruppo finito ha una presentazione finita;
• in generale, esistono delle presentazioni per le quali nessun algoritmo è in grado di decidere se due parole descrivano lo stesso elemento del gruppo (problema delle parole);
• dati due gruppi $G$ e $H$ di presentazioni $⟨S\mid R⟩$ e $⟨T\mid Q⟩$, con $S$ e $T$ disgiunti, il prodotto libero $G\star H$ ha presentazione $⟨S,T\mid R,Q⟩$;
• dati due gruppi $G$ e $H$ di presentazioni $⟨S\mid R⟩$ e $⟨T\mid Q⟩$, con $S$ e $T$ disgiunti, il prodotto diretto $G\times H$ ha presentazione $⟨S,T\mid R,Q,[S,T]⟩$;

Esempi di presentazioni di gruppi

Nella tabella seguente sono riportate alcune presentazioni di gruppi di uso comune; molti di questi gruppi possiedono numerose altre possibili presentazioni che qui non sono riportate.

Gruppo	Presentazione	Note
Gruppo libero su $S$	$⟨S\mid \varnothing ⟩$	Un gruppo libero non è soggetto ad alcuna relazione tra i suoi elementi.
Gruppo libero abeliano su $S$	$⟨S\mid R⟩$, dove $R$ è l'insieme di tutti i commutatori di $S$.
Gruppo simmetrico $S_n$	$⟨{\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_{n-1}\mid {\sigma }_i^2,[{\sigma }_i,{\sigma }_j],{\sigma }_i[{\sigma }_{i+1}{\sigma }_i]{\sigma }_{i+1}^{-1}⟩$, dove la seconda relazione vale per $j\ne i\pm 1$.	La terza relazione si può sostituire con $({\sigma }_i{\sigma }_{i+1}{)}^3$, utilizzando la prima relazione. ${\sigma }_i$ è la permutazione che scambia l'i-esimo elemento con l'i+1-esimo. Il prodotto ${\sigma }_i{\sigma }_{i+1}$ è un 3-ciclo sull'insieme $\{i,i+1,i+2\}$.
Gruppo di trecce $B_n$	$⟨{\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_{n-1}\mid [{\sigma }_i,{\sigma }_j],{\sigma }_i[{\sigma }_{i+1}{\sigma }_i]{\sigma }_{i+1}^{-1}⟩$, dove la prima relazione vale per $j\ne i\pm 1$.	L'unica differenza con il gruppo simmetrico è la mancanza della relazione ${{\sigma }_i}^2=1$.
$C_n$, gruppo ciclico di ordine n	$⟨a\mid a^n⟩$
$D_{2n}$, gruppo diedrale di ordine n	$⟨r,f\mid r^n,f^2,(rf{)}^2⟩$	$r$ rappresenta una rotazione, $f$ una riflessione.
$D_{\mathrm{\infty }}$, gruppo diedrale infinito	$⟨r,f\mid f^2,(rf{)}^2⟩$
$Di{c}_n$, gruppo diciclico	$⟨r,f\mid r^{2n},r^n{f}^{-2},fr{f}^{-1}r⟩$
Gruppo dei quaternioni $Q$	$⟨i,j\mid i^4,i^2{j}^2,iji{j}^{-1}⟩$	Equivale al gruppo diciclico $Di{c}_2$.
Il gruppo tetraedrale $T\cong A_4$	$⟨s,t\mid s^2,t^3,(st{)}^3⟩$	È il gruppo delle simmetrie di un tetraedro che conservano l'orientamento.
Il gruppo ottaedrale$O\cong S_4$	$⟨s,t\mid s^2,t^3,(st{)}^4⟩$	È il gruppo delle simmetrie di un ottaedro che conservano l'orientamento.
Il gruppo icosaedrale $I\cong A_5$	$⟨s,t\mid s^2,t^3,(st{)}^5⟩$	È il gruppo delle simmetrie di un icosaedro che conservano l'orientamento.
$\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$	$⟨x,y\mid [x,y]⟩$
${\mathbb{Z}}_m\times {\mathbb{Z}}_n$	$⟨x,y\mid x^m,y^n,[x,y]⟩$

Bibliografia

• Template:En D. L. Johnson, Presentations of Groups. Cambridge, Cambridge University, 1990. ISBN 0-521-37824-9
• Template:En H. S. M Coxeter, W. O. J. Moser, Generators and Relations for Discrete Groups. New York, Springer-Verlag, 1980. ISBN 0-387-09212-9

Voci correlate

• Insieme di generatori
• Tavola dei gruppi piccoli
• Teorema di Van Kampen, un esempio di teorema che fa uso di presentazioni di gruppi.

Collegamenti esterni

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