Prodotto libero

Questo spazio topologico, detto bouquet ha come gruppo fondamentale il prodotto libero di due copie di $\mathbb{Z}$. Questo gruppo viene indicato con il simbolo $\mathbb{Z}\ast \mathbb{Z}$. I suoi elementi possono essere rappresentati come parole nelle lettere $a$ e $b$ (e anche $a^{-1}$ e $b^{-1}$)

In algebra, il prodotto libero di due gruppi $G$ e $H$ è un nuovo gruppo, generalmente indicato con

$G\ast H.$

Tale gruppo è costruito prendendo tutte le parole aventi come lettere degli elementi in $G$ e in $H$, considerate a meno di semplici operazioni.

La nozione di gruppo libero è importante in topologia, perché riflette (tramite il gruppo fondamentale) l'operazione (detta bouquet) che consiste nell'attaccare due spazi topologici per un punto.

Definizione

Siano $G$ e $H$ due gruppi. Una parola in $G$ e $H$ è una successione finita di elementi

$s_1\dots s_n$

dove ciascun $s_i$ è un elemento di $G$ o di $H$.

Il prodotto libero è definito come l'insieme formato da tutte le parole di questo tipo, considerate però a meno di una relazione di equivalenza. Due parole sono equivalenti se sono ottenute l'una dall'altra tramite un numero finito di mosse del seguente tipo:

1. rimozione della lettera $e$, elemento neutro di $G$ o di $H$;
2. sostituzione di una coppia di lettere consecutive $g{g}^{\prime }$ appartenenti allo stesso gruppo $G$ o $H$ con l'elemento "$g{g}^{\prime }$"
3. l'inversa di una delle due mosse precedenti.

La definizione di prodotto libero è quindi la seguente.

Il prodotto libero $G\ast H$ è l'insieme di tutte le parole in $G$ e $H$, considerate a meno di equivalenza. L'operazione di gruppo è il concatenamento delle parole.

Il concatenamento di due parole

$s_1\dots s_n,t_1\dots t_k$

è la parola

$s_1\dots s_n{t}_1\dots t_k.$

Questa operazione risulta essere effettivamente ben definita e soddisfa gli assiomi di gruppo. L'elemento neutro è la parola vuota, o equivalentemente formata da una sola lettera, elemento neutro di $G$ oppure $H$. L'elemento inverso di una parola

$s_1\dots s_n$

è la parola

$s_n^{-1}\dots s_1^{-1}.$

Proprietà

Presentazioni

Se i due gruppi $G$ e $H$ sono descritti tramite presentazioni come

$G=⟨R_G\mid S_G⟩$

$H=⟨R_H\mid S_H⟩$

dove $R_G$ e $S_G$ sono rispettivamente insiemi di generatori e relazioni, allora

$G\ast H=⟨R_G\cup R_H\mid S_G\cup S_H⟩.$

In altre parole, una presentazione per il prodotto libero è costruita unendo le due presentazioni.

Associatività e commutatività

I prodotti liberi

$G\ast H,H\ast G$

sono naturalmente isomorfi (effettivamente, sono proprio lo stesso gruppo). Si può quindi dire che l'operazione $\ast$ è commutativa. Tale operazione è anche associativa, nel senso che i gruppi

$(G\ast H)\ast K,G\ast (H\ast K)$

sono isomorfi. Si possono quindi omettere le parentesi e parlare più in generale di prodotto libero fra $k$ gruppi

$G_1\ast \cdots \ast G_k.$

L'operazione $\ast$ ha anche un elemento neutro, il gruppo banale: infatti i gruppi

$G\ast \{e\},G$

sono isomorfi. Non esiste però l'elemento inverso per $\ast$: dato un gruppo $G$, non è possibile trovare un gruppo $H$ per cui $G\ast H$ è il gruppo banale, perché la sua cardinalità è grande almeno quanto quella di $G$.

Rappresentante ridotto

Ogni elemento di un prodotto libero $G\ast H$ si esprime in modo unico come parola ridotta, ovvero come parola

$s_1\dots s_k$

in cui valgono le proprietà seguenti:

1. due lettere consecutive appartengono a gruppi distinti,
2. nessun $s_i$ è elemento neutro di $G$ o di $H$.

Ogni parola può essere portata in forma ridotta facilmente con le mosse seguenti:

1. se due lettere consecutive $g_1{g}_2$ appartengono allo stesso gruppo, sostituire la coppia con la lettera $g$ definita come l'elemento $g=g_1{g}_2$;
2. se un $s_i$ è un elemento neutro, rimuoverlo.

La parola ridotta che rappresenta l'elemento neutro è la parola vuota, che non contiene lettere.

L'unicità della rappresentazione permette di capire agevolmente se due parole diverse rappresentano lo stesso elemento.

Cardinalità

Se $G$ e $H$ sono due gruppi non banali, allora il prodotto libero $G\ast H$ ha cardinalità infinita. Infatti, presi un elemento $g$ in $G$ e $h$ in $H$ entrambi diversi dall'elemento neutro, il sottogruppo da loro generato è certamente infinito, perché contiene infiniti elementi di questo tipo:

$g,gh,ghg,ghgh,ghghg,\dots$

Questi elementi sono tutti distinti perché espressi in forma ridotta.

Esempi

Gruppo libero

Il gruppo fondamentale di questa rosa con 4 petali è il gruppo libero $\mathbb{Z}\ast \mathbb{Z}\ast \mathbb{Z}\ast \mathbb{Z}$ di ordine 4.

Il gruppo libero di ordine $k$ è il gruppo

$\mathbb{Z}\ast \cdots \ast \mathbb{Z}$

ottenuto come prodotto libero di $k$ copie del gruppo degli interi $\mathbb{Z}$.

Prodotto di gruppi ciclici

Il gruppo

${\mathbb{Z}}_2\ast {\mathbb{Z}}_2$

può essere descritto come segue. Ciascun gruppo ${\mathbb{Z}}_2$ ha un solo elemento non banale: siano $a$ e $b$ gli elementi non banali dei due gruppi. Gli elementi del prodotto libero sono esattamente le parole seguenti:

$e,a,b,ab,ba,aba,bab,abab,baba,\dots$

Il sottogruppo generato da $ab$

$\{(ab{)}^n\}=\{\dots ,baba,ba,e,ab,abab,ababab,\dots \}$

ha indice 2 ed è isomorfo a $\mathbb{Z}$.

Applicazioni

Template:Vedi anche L'operazione di prodotto libero è molto importante in topologia, perché legata a un'operazione chiamata bouquet. Questa operazione consiste nel costruire uno spazio topologico a partire da due spazi dati $X$ e $Y$, identificando un punto di $X$ con uno di $Y$. Il nuovo spazio topologico è generalmente indicato con il simbolo

$X\vee Y.$

Se gli spazi topologici $X$ e $Y$ sono connessi per archi e abbastanza "buoni" (cioè sono localmente contrattili) il gruppo fondamentale del bouquet è il prodotto libero dei gruppi fondamentali di $X$ e $Y$:

$\pi (X\vee Y)=\pi (X)\ast \pi (Y).$

Questo fatto è conseguenza del teorema di Van Kampen. Ad esempio, il gruppo fondamentale di un bouquet di $k$ circonferenze è il gruppo libero di ordine $k$.

Il gruppo fondamentale di un bouquet di due piani proiettivi è

$\pi ({ℝ\mathbb{P}}^2\vee {ℝ\mathbb{P}}^2)=\pi ({ℝ\mathbb{P}}^2)\ast \pi ({ℝ\mathbb{P}}^2)={\mathbb{Z}}_2\ast {\mathbb{Z}}_2,$

prodotto libero di due gruppi ciclici. Tale gruppo è infinito.

Voci correlate

• Gruppo libero
• Prodotto diretto
• Prodotto amalgamato