Elemento inverso

Template:F In matematica, e in particolare in algebra astratta, dato un gruppo $(G,\cdot )$ e un suo elemento $g,$ si definisce elemento inverso (o semplicemente inverso) di $g$ un elemento $h$ appartenente a $G$ tale che:

$g\cdot h=h\cdot g=1_G,$

dove $1_G$ indica l'elemento neutro del gruppo.

L'elemento inverso di un dato elemento $g$ è unico, infatti se avessimo due inversi $h$ e $h^{*}$ per $g$, avremmo che $h^{*}=1_G\cdot h^{*}=(h\cdot g)\cdot h^{*}=h\cdot (g\cdot h^{*})=h\cdot 1_G=h$. Inoltre, segue immediatamente dalla definizione che se $h$ è l'inverso di $g,$ allora $g$ è l'inverso di $h.$

In notazione additiva, dato il gruppo $(G,+)$ l'elemento inverso associato a $g$ si indica con $-g$ e si chiama di solito opposto. Nella notazione moltiplicativa, nei casi di gruppi numerici, l'elemento inverso si denota anche come reciproco e si indica con $g^{-1}.$

Opposto di un numero

Template:Vedi anche Negli insiemi numerici considerati con l'addizione, l'opposto non esiste qualora l'insieme considerato non contenga numeri negativi. Ad esempio non esiste in ${ℝ}^{+}$.
In formule, dato un numero $x,$ il suo opposto $x^{\prime }$ è quel numero tale che:

$x+x^{\prime }=0.$

L'opposto di un numero ha sempre il segno contrario a quello del numero stesso: l'opposto di un numero negativo è un numero positivo e viceversa. L'opposto di zero è zero stesso.

Reciproco o inverso di un numero

Template:Vedi anche Il reciproco o inverso di un numero $x$ è il numero che, quando moltiplicato per $x,$ dà 1. Viene denotato con $1/x$ oppure con $x^{-1}$:

$x\cdot x^{-1}=x\cdot \frac{1}{x}=1.$

Il reciproco dello zero non esiste.

Voci correlate

• Gruppo (matematica)
• Opposto (matematica)
• Reciproco
• Elemento neutro
• Elemento assorbente