Gruppo diedrale

In matematica, il gruppo diedrale di ordine $2n$ è il gruppo formato dalle isometrie del piano che lasciano immutati i poligoni regolari a $n$ lati.

L'aggettivo diedrale deriva da diedro (dal greco: solido a due facce), che a sua volta origina dalla possibilità di considerare un poligono come un solido degenere ad altezza nulla.

Il gruppo diedrale viene usualmente indicato con ${\text{D}}_n$; si usano anche le notazioni ${\text{Dih}}_n$ e ${\text{D}}_{2n}$.

Gli elementi del gruppo diedrale

Gli elementi base del gruppo sono le rotazioni del poligono pari all'n-esima parte dell'angolo giro, e la riflessione attorno ad un asse di simmetria del poligono. Esistono in tutto $n$ rotazioni possibili e $n$ assi di simmetria per un poligono di $n$ lati, per cui il gruppo diedrale corrispondente è formato da $2n$ elementi.

Una rotazione del pentagono di $\frac{360^{\circ }}{5}=72^{\circ }=\frac{2\pi }{5}\text{rad}$

Una riflessione del pentagono attorno al proprio asse di simmetria

Indicato con $r$ la rotazione di $\frac{2\pi }{n}$ radianti in senso antiorario, e $s$ la riflessione attorno ad uno degli assi di simmetria, valgono le seguenti relazioni:

• $r^n=1$: dopo $n$ rotazioni si ritorna sui vertici di partenza;
• $s^2=1$: due riflessioni consecutive si annullano;
• $r^{k}s=s{r}^{n-k}$: in particolare, il gruppo non è commutativo;
• ogni simmetria si può ottenere come composizione di $s$ e di un adeguato numero di rotazioni $r$;
• la composizione di due rotazioni o due riflessioni è una rotazione; la composizione di una rotazione e una riflessione è una riflessione.

Segue che è possibile generare tutto il gruppo da $r$ ed $s$; in alternativa, poiché due riflessioni consecutive sono uguali ad una rotazione, si può generare il gruppo a partire da due riflessioni $s_1$ e $s_2$ (pertanto il gruppo diedrale è di Coxeter).

Un rotazione si può ottenere come la composizione di due riflessioni

Definizioni equivalenti

È possibile dare per il gruppo diedrale numerose definizioni equivalenti alla precedente:

• è il gruppo con presentazione

$⟨r,s\mid r^n=1,s^2=1,srs=r^{-1}⟩$

oppure

$⟨s_1,s_2\mid s_1^2=s_2^2=(s_1{s}_2{)}^n=1⟩$;

• è il prodotto semidiretto dei gruppi ciclici ${\mathbb{Z}}_n$ e ${\mathbb{Z}}_2$, con ${\mathbb{Z}}_2$ che agisce su ${\mathbb{Z}}_n$ per inversione;

Proprietà

• per $n\ge 3$, ${\text{D}}_n$ è un sottogruppo del gruppo simmetrico $S_n$;
• dato un numero $m$ che divide $n$, ${\text{D}}_n$ ha $\frac{n}{m}$ sottogruppi di tipo ${\text{D}}_m$ e un sottogruppo di tipo ${\mathbb{Z}}_m$;

Proprietà che dipendono dalla parità dei lati

Gli assi di simmetria di un poligono sono disposti in maniera diversa, a seconda che il numero dei suoi lati sia pari (metà degli assi passano per i vertici opposti e metà passano per il centro dei lati opposti) oppure dispari (ogni asse passa per un vertice e il centro del lato opposto). Questo comporta che alcune delle proprietà del gruppo diedrale associato possono variare a seconda della parità di $n$:

• il centro del gruppo, ovvero l'insieme degli elementi che commutano con tutto il gruppo, è formato dalla sola identità se $n$ è dispari, mentre contiene anche l'elemento $r^{\frac{n}{2}}$ (equivalente alla rotazione di 180°) se $n$ è pari.
• se $n$ è dispari, tutte le riflessioni appartengono alla stessa classe di coniugio; se invece $n$ è pari esistono due classi di coniugio separate: le riflessioni attorno agli assi passanti per i vertici e quelle attorno agli assi passanti per i lati non sono collegabili fra di loro mediante rotazioni.

Gruppi diedrali piccoli

Il caso $n=1$ è considerato degenere e non è menzionato da molti autori; si può considerare come il gruppo composto dalla sola rotazione di $2\pi$ e dalla simmetria lungo una qualunque retta; corrisponde al gruppo ${\mathbb{Z}}_2$.

Il caso $n=2$ (simmetrie del piano che lasciano invariato un 2-agono, cioè un segmento) è generato dalla rotazione di $\pi$ e dalla riflessione attorno all'asse del segmento. Queste due trasformazioni, pur essendo identiche sui punti del segmento, non lo sono per l'intero piano. Il gruppo è isomorfo a ${\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_2$ (gruppo di Klein).

${\text{D}}_1$ e ${\text{D}}_2$ sono gli unici gruppi diedrali commutativi.

Gruppi diedrali e radici dell'unità

L'insieme delle radici n-esime dell'unità, dato da

$\{r_k=\cos \frac{2\pi k}{n}+i\sin \frac{2\pi k}{n}:k=0,1,\dots ,n-1\}\subseteq (ℂ)$

sul piano complesso corrisponde ai vertici di un poligono a $n$ lati. La moltiplicazione per $r_1$ corrisponde alla rotazione di $\frac{2\pi }{n}$, mentre l'operazione di coniugazione complessa $\overline{x+iy}=x-iy$ corrisponde alla riflessione lungo l'asse reale. Segue che il gruppo generato a partire da queste due operazioni, con l'operazione di composizione, è il gruppo diedrale di ordine $n$.

Generalizzazioni

Gruppo diedrale infinito

Il gruppo diedrale ha tra i suoi generatori una rotazione $a$ di un angolo sottomultiplo razionale dell'angolo giro, per cui esiste sempre un intero $n$ per cui $a^n$ è l'identità, e il gruppo generato è di ordine finito; se invece consideriamo rotazioni che non sono multiple razionali di $2\pi$, non esiste alcuna loro potenza che sia l'identità; segue che il gruppo generato (indicato con $D_{\mathrm{\infty }}$) ha infiniti elementi.

La sua presentazione è data da $⟨r,s\mid s^2=1,srs=r^{-1}⟩$ oppure $⟨s_1,s_2\mid s_1^2=s_2^2=1⟩$.

Gruppo diedrale generalizzato

Dato un gruppo commutativo $H$, il gruppo diedrale generalizzato di $H$, che si indica con $\text{D}(H)$, è il prodotto semidiretto di $H$ e di ${\mathbb{Z}}_2$, con ${\mathbb{Z}}_2$ che agisce su $H$ per inversione.

Valgono cioè le regole di moltiplicazione:

$\begin{array}{c}\mathrm{\forall }{h}_1,h_2\in H,t_2\in {\mathbb{Z}}_2:\\ (h_1,0)\cdot (h_2,t_2)& =& (h_1+h_2,t_2)\\ (h_1,1)\cdot (h_2,t_2)& =& (h_1-h_2,1+t_2)\end{array}$

Poiché $\text{D}({\mathbb{Z}}_n)={\text{D}}_n$ e $\text{D}(\mathbb{Z})={\text{D}}_{\mathrm{\infty }}$, questa definizione estende quella di gruppo diedrale di un poligono. Gli elementi del tipo $(h,0)$ corrispondono alle rotazioni e formano un sottogruppo normale di $\text{D}(H)$ isomorfo ad $H$, mentre gli elementi del tipo $(h,1)$ corrispondono alle riflessioni.

Bibliografia

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Voci correlate

• Generatori di un gruppo
• Prodotto diretto
• Tavola dei gruppi piccoli

Collegamenti esterni

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