Nucleo di Fredholm

In matematica, un nucleo di Fredholm è un tipo di nucleo integrale definito su uno spazio di Banach, ed associato ad uno o più operatori nucleari. Si tratta di uno degli elementi principale della teoria di Fredholm, parte della quale è stata sviluppata da Alexander Grothendieck e pubblicata nel 1955.

Definizione

Sia $B$ uno spazio di Banach e $B^{*}$ il suo duale, ovvero lo spazio dei funzionali lineari limitati definiti su $B$. Il prodotto tensoriale $B^{*}\otimes B$ è uno spazio completo con la norma:

$\Vert X{\Vert }_{\pi }=\inf \sum _{\{i\}}\Vert e_i^{*}\Vert \Vert e_i\Vert$

dove l'estremo inferiore è valutato considerando tutte le rappresentazioni finite:

$X=\sum _{\{i\}}{e}_i^{*}{e}_i\in B^{*}\otimes B$

Il completamento con tale norma è anche denotato come:

$B^{*}{\hat{\otimes }}_{\pi }B$

ed è chiamato prodotto tensoriale topologico proiettivo. Un nucleo di Fredholm è un elemento di tale spazio.

Proprietà

Ogni nucleo di Fredholm $X$ possiede una rappresentazione nella forma:

$X=\sum _{\{i\}}{\lambda }_i{e}_i^{*}\otimes e_i$

con $e_i\in B$ e $e_i^{*}\in B^{*}$ tali che $\Vert e_i\Vert =\Vert e_i^{*}\Vert =1$ e:

$\sum _{\{i\}}|{\lambda }_i|<\mathrm{\infty }$

Ad ogni nucleo si può associare l'operatore lineare:

${ℒ}_X:B\to B$

la cui rappresentazione canonica è:

${ℒ}_{X}f=\sum _{\{i\}}{\lambda }_i{e}_i^{*}(f)\otimes e_i$

Inoltre, si può associare una traccia, data da:

$\text{tr}X=\sum _{\{i\}}{\lambda }_i{e}_i^{*}(e_i)$

Nuclei p-sommabili

Un nucleo di Fredholm è detto p-sommabile se:

$\sum _{\{i\}}|{\lambda }_i{|}^p<\mathrm{\infty }$

ed è detto essere di ordine q se q è l'estremo inferiore di $0<p\le 1$ per tutti i p che rendono il nucleo p-sommabile.

Operatori di classe traccia su spazi di Banach

Template:Vedi anche Un operatore $ℒ:B\to B$ è detto operatore nucleare o di classe traccia se esiste un nucleo di Fredholm $X\in B^{*}{\hat{\otimes }}_{\pi }B$ tale che $ℒ={ℒ}_X$. Un tale operatore è p-sommabile e di ordine q se lo è $X$. In generale, ci può essere più di un $X$ associato ad un operatore di classe traccia, sicché la traccia non è univocamente definita. Tuttavia, se $q\le 2/3$ allora la traccia è unica, come stabilito dal teorema di Grothendieck.

Uno spazio di Fréchet in cui ogni funzione limitata a valori in uno spazio di Banach è di classe traccia viene detto spazio nucleare.

Teorema di Grothendieck

Se $ℒ:B\to B$ è un operatore di ordine $q\le 2/3$ allora si può definire una traccia:

$\text{Tr}ℒ=\sum _{\{i\}}{\rho }_i$

dove ${\rho }_i$ sono gli autovalori di $ℒ$. Inoltre, il determinante di Fredholm:

$\det (1-zℒ)=\prod _i(1-{\rho }_{i}z)$

è una funzione intera di z, e vale la formula:

$\det (1-zℒ)=\exp \text{Tr}\log (1-zℒ)$

Inoltre, se $ℒ$ è parametrizzato da qualche numero complesso $w$, ovvero $ℒ={ℒ}_w$, e se la parametrizzazione è olomorfa su qualche dominio, allora:

$\det (1-z{ℒ}_w)$

è olomorfa nello stesso dominio.

Bibliografia

• A. Grothendieck, La théorie de Fredholm Bull. Amer. Math. Soc. , 84 (1956) pp. 319–384
• A. Grothendieck, Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires Mem. Amer. Math. Soc. , 5 (1955)

Voci correlate

• Autovettore e autovalore
• Classe traccia
• Determinante di Fredholm
• Equazione integrale di Fredholm
• Funzione di Green
• Operatore compatto
• Operatore di Fredholm
• Spettro (matematica)
• Teoremi di Fredholm
• Teoria di Fredholm

Collegamenti esterni

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