Operatore di Fredholm

In matematica, in particolare all'interno della teoria di Fredholm, un operatore di Fredholm è un operatore lineare limitato tra spazi di Banach il cui nucleo e conucleo hanno dimensione finita, e la sua immagine è chiusa, sebbene quest'ultima richiesta sia ridondante.

Definizione

Un operatore di Fredholm è un operatore lineare limitato tra spazi di Banach di cui nucleo e conucleo hanno dimensione finita. In modo equivalente, un operatore $T:X\to Y$ è di Fredholm se esiste un operatore lineare limitato $S:Y\to X$ tale per cui gli operatori:

${\mathrm{I}\mathrm{d}}_X-ST{\mathrm{I}\mathrm{d}}_Y-TS$

sono compatti rispettivamente su $X$ e $Y$.

L'indice $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}T$ di un operatore di Fredholm $T$ è definito come:

$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}T:=\dim \ker T-\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T$

Se l'indice è $\pm \mathrm{\infty }$ l'operatore è detto essere semi-Fredholm: si tratta di un operatore caratterizzato dal possedere nucleo oppure conucleo aventi dimensione finita e immagine chiusa.

Proprietà

L'insieme degli operatori di Fredholm da $X$ a $Y$ forma un insieme aperto nello spazio di Banach $L(X,Y)$ degli operatori lineari limitati (e dunque continui). Più precisamente, se $T_0:X\to Y$ è di Fredholm allora esiste $ϵ>0$ tale che ogni $T\in L(X,Y)$ che soddisfa $\Vert T-T_0\Vert <ϵ$ è di Fredholm e ha lo stesso indice di $T_0$.

Se $T$ è un operatore di Fredholm da $X$ a $Y$ e $U$ è di Fredholm da $Y$ a $Z$, allora la composizione $U\circ T$ è di Fredholm da $X$ a $Z$ e si ha:

$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(U\circ T)=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(U)+\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(T)$

Se $T:X\to Y$ è un operatore di Fredholm, il suo aggiunto $T^{\prime }:Y^{\prime }\to X^{\prime }$ è di Fredholm e $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}T=-\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(T^{\prime })$, e ciò vale anche quando $X$ e $Y$ sono spazi di Hilbert (in cui la definizione di aggiunto si diversifica).

Se $T$ è un operatore di Fredholm e $K$ è un operatore compatto, allora $T*K$ è ancora di Fredholm e l'indice non cambia.

Bibliografia

• Template:En D.E. Edmunds and W.D. Evans (1987), Spectral theory and differential operators, Oxford University Press. ISBN 0-19-853542-2.
• Template:En A. G. Ramm, "A Simple Proof of the Fredholm Alternative and a Characterization of the Fredholm Operators", American Mathematical Monthly, 108 (2001) p. 855 (NB: In this paper the word "Fredholm operator" refers to "Fredholm operator of index 0").
• Template:En Bruce K. Driver, "Compact and Fredholm Operators and the Spectral Theorem", Analysis Tools with Applications, Chapter 35, pp. 579–600.
• Template:En Robert C. McOwen, "Fredholm theory of partial differential equations on complete Riemannian manifolds", Pacific J. Math. 87, no. 1 (1980), 169–185.

Voci correlate

• Conucleo
• Nucleo (matematica)
• Operatore limitato
• Operatore lineare continuo
• Operatore compatto
• Spazio di Banach
• Spettro essenziale
• Teoremi di Fredholm
• Teoria di Fredholm

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni
• Template:En Tomasz Mrowka, A Brief Introduction to Linear Analysis: Fredholm Operators, Geometry of Manifolds, Fall 2004 (Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCouseWare)
• Template:PlanetMath
• Template:SpringerEOM
• Template:SpringerEOM