Spazio di Fréchet

In matematica, uno spazio di Fréchet è uno spazio vettoriale topologico localmente convesso che è completo rispetto a una metrica invariante sotto traslazione. Tali spazi prendono il nome dal matematico Maurice Fréchet. Sono diversi gli esempi di spazi di funzioni che sono spazi di Fréchet, tra i più rilevanti gli spazi di Banach, che sono completi rispetto alla metrica indotta dalla norma.

Definizione

Gli spazi di Fréchet possono essere definiti in due modi equivalenti: il primo utilizza una metrica invariante sotto traslazione, il secondo una famiglia numerabile di seminorme.

Uno spazio vettoriale topologico $X$ è uno spazio di Fréchet se soddisfa le seguenti proprietà:

• è localmente convesso;
• la sua topologia può essere indotta da una metrica invariante rispetto a traslazioni, cioè una distanza $d:X\times X\to ℝ$ tale per cui $d(x,y)=d(x+a,y+a)$ per tutti gli $a,x,y\in X,$ questo significa che $U\subset X$ è aperto se e solo se per ogni $u\in U$ esiste $\epsilon >0$ tale che $\{v:d(u,v)<\epsilon \}\subset U;$
• è uno spazio metrico completo.

Si nota che non vi è una nozione naturale di distanza tra due punti di uno spazio di Fréchet: differenti metriche invarianti sotto traslazione possono infatti indurre la medesima topologia.

In modo equivalente, uno spazio vettoriale topologico $X$ è uno spazio di Fréchet se soddisfa le seguenti proprietà:

• è uno spazio di Hausdorff;
• la sua topologia può essere indotta da una famiglia numerabile di seminorme $\Vert \cdot {\Vert }_k$, con $k$ intero non negativo, questo significa che $U\subset X$ è aperto se e solo se per ogni $u\in U$ esistono $K\ge 0$ e $\epsilon >0$ tali che $\{v:\Vert u-v{\Vert }_k<\epsilon \mathrm{\forall }k\le K\}\subset U$;
• è completo rispetto alla famiglia di seminorme.

Una successione $(x_n)\in X$ converge a $x$ nello spazio di Fréchet definito da una famiglia di seminorme se e solo se converge a $x$ rispetto a ognuna delle seminorme.

Costruzione di spazi di Fréchet

La seminorma $\Vert \cdot \Vert$ è una funzione definita da uno spazio vettoriale $X$ a valori in $ℝ$ e che soddisfa le tre seguenti proprietà per tutti i vettori $x$ e $y$ in $X$ e per ogni scalare $c$:

$\Vert x\Vert \ge 0;$

$\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert ;$

$\Vert c\cdot x\Vert =|c|\Vert x\Vert .$

Se $\Vert x\Vert =0$ implica $x=0$, allora $\Vert \cdot \Vert$ è di fatto una norma.

Le seminorme consentono di costruire spazi di Fréchet partendo da uno spazio vettoriale $X$, sul quale si definisce una famiglia numerabile di seminorme $\Vert \cdot {\Vert }_k$ con le seguenti proprietà:

• se $x\in X$ e $\Vert x{\Vert }_k=0$ per $k\ge 0$, allora $x=0;$
• se $(x_n)$ è una successione in $X$ che è una successione di Cauchy rispetto ad ogni seminorma $\Vert \cdot {\Vert }_k$, allora esiste $x\in X$ tale che $(x_n)$ converge a $x$ rispetto ad ogni seminorma $\Vert \cdot {\Vert }_k.$

La topologia indotta dalla famiglia numerabile di seminorme rende $X$ uno spazio di Fréchet: la prima proprietà assicura che sia uno spazio di Hausdorff mentre la seconda che sia completo.

La medesima topologia può essere generata utilizzando una metrica completa invariante sotto traslazione definita da:

$d(x,y)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{-k}\frac{\Vert x-y{\Vert }_k}{1+\Vert x-y{\Vert }_k},$

per ogni $x,y\in X.$ Si nota che la funzione $u\to u/(1+u)$ mappa $[0,\mathrm{\infty })$ in $[0,1)$ in modo monotono, e dunque la precedente definizione assicura che la distanza $d(x,y)$ è "piccola" se e solo se esiste $K$ abbastanza "grande" da fare in modo che $\Vert x-y{\Vert }_k$ sia "piccola" per $k=0,\dots ,K$.

Differenziazione in spazi di Fréchet

Se $X$ e $Y$ sono spazi di Fréchet, allora lo spazio $L(X,Y)$ degli operatori lineari continui da $X$ in $Y$ non è uno spazio Fréchet. Questa è la maggiore distinzione tra la teoria degli spazi di Banach e quella degli spazi di Fréchet, che necessitano di una differente definizione di differenziazione con continuità: la derivata di Gâteaux.

Siano $X$ e $Y$ spazi di Fréchet, $U$ un aperto di $X$, $P:U\to Y$ una funzione, $x\in U$ e $h\in X$. Si dice che $P$ è una funzione differenziabile in $x$ nella direzione $h$ se esiste il limite:

$D(P)(x)(h)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{t}(P(x+th)-P(x))$

Si dice che $P$ è differenziabile con continuità in $U$ se $D(P):U\times X\to Y$ è una funzione continua. Se $P:U\to Y$ è differenziabile con continuità allora l'equazione differenziale:

$x^{\prime }(t)=P(x(t))x(0)=x_0\in U$

non ha necessariamente soluzioni, e se esistono possono non essere uniche. Questo è in forte contrasto con la situazione negli spazi di Banach.

Il teorema della funzione inversa non è valido in spazi di Fréchet: un suo parziale sostituto è il teorema di Nash-Moser.

Bibliografia

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• Template:En Bourbaki, Topological vector spaces, Springer (1987) (Translated from French)
• Template:En J.L. Kelley, I. Namioka, Linear topological spaces, Springer (1963)
• Template:En G. Köthe, Topological vector spaces, 1, Springer (1969)

Voci correlate

• Distanza (matematica)
• Seminorma
• Spazio vettoriale topologico
• Spazio localmente convesso
• Spazio di Banach

Collegamenti esterni

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