Matrice antisimmetrica

In matematica una matrice antisimmetrica o emisimmetrica è una matrice quadrata $A$ la cui trasposta è anche la sua opposta, ossia:

$A^t=-A.$

In termini dei suoi elementi $a_{i,j}$, per ogni $i$ e $j$ vale:

$a_{i,j}=-a_{j,i}.$

Per esempio, la matrice:

$\left(\begin{array}{ccc}0& 2& -1\\ -2& 0& -4\\ 1& 4& 0\end{array}\right)$

è antisimmetrica.

Proprietà

Diagonale principale

Se le entrate della matrice appartengono a un campo con caratteristica diversa da 2, tutti gli elementi sulla diagonale principale di una matrice antisimmetrica sono uguali a zero in quanto per definizione $a_{i,i}=-a_{i,i}$. In particolare, una matrice antisimmetrica ha traccia nulla.

Determinante

Se $A$ è una matrice antisimmetrica di ordine $n,$ il suo determinante soddisfa:

$\det (A)=\det (A^t)=\det (-A)=(-1{)}^n\det (A).$

In particolare, se $n$ è dispari il determinante è zero. Se $n$ è pari, invece, il determinante di $A$ è il quadrato di un polinomio $\mathrm{Pf}(A)$ (lo pfaffiano) calcolato nelle componenti di $A$:

$\det (A)=\mathrm{Pf}(A{)}^2.$

Si può però dimostrare in modo elementare che il determinante di una matrice antisimmetrica reale è non negativo. Infatti gli autovalori di una matrice antisimmetrica reale $A$ sono numeri immaginari puri, poiché se $\lambda$ è un autovalore associato all'autovettore $v$, cosicché $Av=\lambda v$, allora

$\bar{\lambda }\stackrel{t}{\stackrel{‾}{v}}v=\overline{(\lambda \stackrel{t}{\stackrel{‾}{v}}v{)}^t}=\overline{(\stackrel{t}{\stackrel{‾}{v}}Av{)}^t}=\stackrel{t}{\stackrel{‾}{v}}{A}^{t}v=-\stackrel{t}{\stackrel{‾}{v}}Av=-\lambda \stackrel{t}{\stackrel{‾}{v}}v,$

da cui deduciamo che $\lambda +\bar{\lambda }=0$, in altre parole $\lambda$ è immaginario puro, diciamo $\lambda =ai$ con $a\in ℝ$. Ora, ad ogni tale autovalore $\lambda$ corrisponde l'autovalore coniugato $\bar{\lambda }$, con la stessa molteplicità, poiché se $Av=\lambda v$, allora $A\bar{v}=\overline{Av}=\overline{\lambda v}=\bar{\lambda }\bar{v}$. Pertanto $\det (A)$, essendo il prodotto degli autovalori (ciascuno ripetuto secondo la sua molteplicità), se non è zero è il prodotto dei numeri reali positivi $\lambda \cdot \bar{\lambda }=ai\cdot \overline{ai}=a^2$.

Matrici simmetriche e antisimmetriche

Per ogni matrice quadrata $A$, la matrice $T=A-A^t$ è una matrice antisimmetrica, mentre la matrice $S=A+A^t$ è una matrice simmetrica.

È possibile (se $A$ ha elementi in un campo di caratteristica diversa da 2) scrivere $A$ come:

$A=(S+T)/2=\frac{1}{2}S+\frac{1}{2}T,$

ossia come somma di una matrice simmetrica e di una matrice antisimmetrica. La matrice trasposta di $A$ in questo caso è:

$A^t=(S-T)/2.$

Teoria spettrale

Se una matrice antisimmetrica $A$ ha un autovalore $\lambda$, allora ha anche un autovalore $-\lambda$. Ossia, se:

$Av=\lambda v,$

allora $v^t{A}^t=\lambda v^t$, quindi:

$v^{t}A=-v^t{A}^t=-\lambda v^t.$

In particolare, gli autovalori di una matrice antisimmetrica si trovano sempre in coppie $(\lambda ,-\lambda )$, eccetto nel caso di dimensione dispari nel quale è anche presente un autovalore nullo.

Gli autovalori di una matrice reale antisimmetrica sono tutti immaginari puri, quindi della forma $\pm i{\lambda }_i$, con ${\lambda }_i$ reale.

Le matrici reali antisimmetriche sono matrici normali e in particolare per esse vale teorema spettrale, ovvero possono essere diagonalizzate tramite una matrice unitaria. Quindi se una matrice reale antisimmetrica ha un autovalore non nullo, questo non è reale e la matrice non può essere diagonalizzata tramite una matrice reale. È comunque possibile trasformare ogni matrice antisimmetrica $A$ in una matrice diagonale a blocchi tramite una matrice ortogonale $R$ (con $R^t=R^{-1}$), ovvero in modo che ${\mathrm{\Sigma }}_n=R^{-1}AR=R^{t}AR$ sia di una delle due forme:

${\mathrm{\Sigma }}_{2r}=\left(\begin{array}{cccc}\left[\begin{array}{cc}0& {\lambda }_1\\ -{\lambda }_1& 0\end{array}\right]& O& \cdots & O\\ O& \left[\begin{array}{cc}0& {\lambda }_2\\ -{\lambda }_2& 0\end{array}\right]& & O\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ O& O& \cdots & \left[\begin{array}{cc}0& {\lambda }_r\\ -{\lambda }_r& 0\end{array}\right]\end{array}\right),{\mathrm{\Sigma }}_{2r+1}=\left(\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Sigma }}_{2r}\end{array}\right]& O\\ O& \left[\begin{array}{c}0\end{array}\right]\end{array}\right),$

con autovalori $\pm i{\lambda }_k$ (più un autovalore $0$ se $n$ è dispari).

Forme alternanti

Una forma alternante (o antisimmetrica) $\phi$ su uno spazio vettoriale $V$ sopra un campo $K$ (di caratteristica diversa da 2) è una forma bilineare $\phi :V\times V\to K$ tale che:

$\phi (v,w)=-\phi (w,v).$

Ogni forma alternante $\phi$ viene rappresentata da una matrice antisimmetrica $A$ su una base di $V$, $\phi (v,w)=v^{t}Aw$, e viceversa.

Rotazioni infinitesimali

Le matrici antisimmetriche di ordine $n$ con elementi in un campo $K$ sono uno spazio vettoriale su $K$ di dimensione $n(n-1)/2$, che è lo spazio tangente al gruppo ortogonale $O(n)$ nella matrice identità; in questa interpretazione, le matrici antisimmetriche possono essere derivate da "rotazioni infinitesimali".

Equivalentemente, lo spazio vettoriale delle matrici antisimmetriche forma l'algebra di Lie $o(n)$ del gruppo di Lie $O(n)$. La parentesi di Lie su di esso è il commutatore $[A,B]=AB-BA$, che è antisimmetrico:

$(AB-BA{)}^t=B^t{A}^t-A^t{B}^t=BA-AB.$

Inoltre, la matrice esponenziale $R=\exp (A)$ di una matrice antisimmetrica $A$ è una matrice ortogonale:

$R^t={\mathrm{e}}^{A^t}={\mathrm{e}}^{-A}=({\mathrm{e}}^A{)}^{-1}=R^{-1}.$

Di conseguenza l'immagine dell'applicazione esponenziale si trova nella componente connessa di $O(n)$, il gruppo ortogonale speciale $SO(n)$, e ogni rotazione $R$ ha determinante $1$. In particolare, ogni matrice ortogonale speciale (con determinante $1$) è l'esponenziale di una matrice antisimmetrica.

Bibliografia

• Template:En S. Helgason, Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces , Acad. Press (1978)

Voci correlate

• Glossario sulle matrici
• Matrice simmetrica
• Matrice hermitiana
• Matrice antihermitiana
• Matrice normale
• Matrice trasposta
• Matrice simplettica
• Quoziente di Rayleigh

Collegamenti esterni

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