Gruppo ortogonale

In matematica, il gruppo ortogonale di grado $n$ su un campo $K$ è il gruppo delle matrici ortogonali $n\times n$ a valori in $K$. Si indica con $\mathrm{O}(n,K)$ o, se il campo è chiaro dal contesto, semplicemente con $\mathrm{O}(n)$.

Quando $K$ è il campo dei numeri reali, il gruppo può essere interpretato come il gruppo delle isometrie dello spazio euclideo di dimensione $n.$ Le matrici aventi determinante uguale a $+1$ formano un sottogruppo, che si indica con $\mathrm{S}\mathrm{O}(n)$, detto gruppo ortogonale speciale. Il gruppo ortogonale speciale è il gruppo delle rotazioni dello spazio.

Definizione

Il gruppo ortogonale è un sottogruppo del gruppo generale lineare $\mathrm{G}\mathrm{L}(n,K)$ di tutte le matrici invertibili, definito come segue:

$\{Q\in \mathrm{G}\mathrm{L}(n,K)|Q^{T}Q=Q{Q}^T=I\}.$

In altre parole, è il sottogruppo formato da tutte le matrici ortogonali.

Quando il campo $K$ non è menzionato, si sottintende che $K$ è il campo dei numeri reali $ℝ$. In questa voce, parleremo soltanto del caso $K=ℝ$.

Proprietà basilari

Una matrice ortogonale ha determinante $+1$ oppure $-1.$ Il sottoinsieme di $\mathrm{O}(n)$ formato da tutte le matrici con determinante $+1$ è a sua volta un sottogruppo, detto gruppo ortogonale speciale. Viene indicato con $\mathrm{S}\mathrm{O}(n)$. Gli elementi di questo gruppo sono rotazioni.

Il gruppo $\mathrm{O}(n)$ è il gruppo delle isometrie della sfera di dimensione $n-1.$ Il sottogruppo $\mathrm{S}\mathrm{O}(n)$ è dato da tutte le isometrie che preservano l'orientazione della sfera.

Topologia

Il gruppo $\mathrm{O}(n)$ è una varietà differenziabile, e assieme alla sua struttura di gruppo forma un gruppo di Lie compatto. Non è connesso: ha infatti due componenti connesse, una delle quali è $\mathrm{S}\mathrm{O}(n).$

Dimensioni basse

• Per $n=1$, il gruppo $\mathrm{O}(1)$ consta di due elementi, $1$ e $-1.$
• Per $n=2$, il gruppo $\mathrm{S}\mathrm{O}(2)$ è isomorfo al gruppo quoziente $ℝ/\mathbb{Z}$ dove $ℝ$ è l'insieme dei numeri reali e $\mathbb{Z}$ il sottogruppo dei numeri interi. Questo gruppo è solitamente indicato con $S^1$, e topologicamente è una circonferenza.
• Per $n=3$, il gruppo $\mathrm{S}\mathrm{O}(3)$ è omeomorfo allo spazio proiettivo reale di dimensione 3, che si indica solitamente come ${\mathbb{P}}^3(ℝ).$

Gruppo fondamentale

Il gruppo fondamentale di $\mathrm{S}\mathrm{O}(2)$ è $\mathbb{Z},$ il gruppo dei numeri interi. Per ogni $n>2$ il gruppo fondamentale di $\mathrm{S}\mathrm{O}(n)$ è invece $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},$ il gruppo ciclico con due elementi. Ha quindi un rivestimento universale compatto, che viene indicato con $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(n)$, e che risulta anch'esso essere un gruppo di Lie. Il gruppo $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(n)$ è chiamato gruppo Spin.

Bibliografia

• Template:Cita libro
• Template:Cita libro

Voci correlate

• Matrice ortogonale
• Trasformazione ortogonale
• Rotazione (matematica)

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni