Matrice ortogonale

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una matrice ortogonale è una matrice invertibile tale che la sua trasposta coincide con la sua inversa.

Nel campo complesso, una matrice invertibile la cui trasposta coniugata coincide con l'inversa è detta matrice unitaria.

Definizione

Data una matrice invertibile $G$, indicando con $G^T$ la sua trasposta si definisce $G$ ortogonale se:

$G{G}^T=G^{T}G=I_n$

laddove $I_n$ è la matrice identità, ovvero la trasposta è l'inversa.

In modo equivalente, una matrice ortogonale è una matrice che rappresenta una isometria dello spazio euclideo, oppure è una matrice di cambiamento di base fra due basi ortonormali.

Si può ricavare che il numero di parametri indipendenti in una matrice ortogonale di dimensione $N$ è $N(N-1)/2$.

Proprietà

Basi ortonormali

Una matrice quadrata è ortogonale se e solo se le sue colonne formano una base ortonormale dello spazio euclideo ${ℝ}^n$ con l'ordinario prodotto scalare. Questa proprietà è semplicemente la rilettura della relazione $G^{T}G=I_n$.

Rileggendo similmente la relazione $G{G}^T=I_n$, si ricava l'enunciato duale del precedente: una matrice quadrata reale è ortogonale se e solo se le sue righe formano una base ortonormale di ${ℝ}^n$.

Isometrie

Geometricamente, le matrici ortogonali descrivono le trasformazioni lineari di ${ℝ}^n$ che sono anche isometrie. Queste preservano il prodotto scalare dello spazio, e quindi gli angoli e le lunghezze. Ad esempio, le rotazioni e le riflessioni sono isometrie.

Viceversa, se $V$ è un qualsiasi spazio vettoriale di dimensione finita dotato di un prodotto scalare definito positivo, e $f:V\to V$ è un'applicazione lineare con:

$⟨f(x),f(y)⟩=⟨x,y⟩$

per tutti gli elementi $x$, $y$ di $V$, allora $f$ è una isometria ed è rappresentata in ogni base ortonormale di $V$ da una matrice ortogonale.

In uno spazio euclideo di dimensione 2 e 3, ogni matrice ortogonale esprime una rotazione intorno ad un punto o un asse, o una riflessione, o una composizione di queste due trasformazioni.

Gruppo ortogonale

Template:Vedi anche Dalla definizione segue subito che l'inversa di ogni matrice ortogonale, cioè la sua trasposta, è anch'essa ortogonale.

Analogamente, il prodotto di due matrici ortogonali è una matrice ortogonale. Infatti:

$(GH)\cdot (GH{)}^T=GH{H}^T{G}^T=G{G}^T=I$

Questo dimostra che l'insieme delle matrici ortogonali $n\times n$ forma un gruppo rispetto all'operazione "moltiplicazione tra matrici/composizione di funzioni lineari", il gruppo ortogonale, che è un gruppo di Lie e viene indicato con $O(n)$.

La sua dimensione è $n(n-1)/2$. Intuitivamente, la dimensione è calcolata nel modo seguente: gli $n^2$ numeri di una matrice ortogonale sono vincolati dalle $n^2$ uguaglianze della definizione, ciascuna delle quali è caratterizzata da una coppia di indici $(i,j)$ che vanno da 1 a $n$, ma l'equazione relativa a $(i,j)$ con $i<j$ equivale a quella relativa a $(j,i)$ e quindi ci sono solo $n(n+1)/2$ equazioni indipendenti, e quindi $n(n-1)/2$ gradi di libertà.

Matrice ortogonale speciale

Il determinante di ogni matrice ortogonale è $1$ o $-1$. Questo si può dimostrare come segue:

$1=\det (I)=\det (G\cdot G^T)=\det (G)\det (G^T)=(\det (G){)}^2$

Una matrice ortogonale con determinante positivo si dice matrice ortogonale speciale.

L'insieme di tutte le matrici ortogonali speciali formano un sottogruppo di $O(n)$ di indice 2, chiamato gruppo ortogonale speciale e denotato $SO(n)$.

Autovalori e decomposizioni

Autovalori

Tutti gli autovalori di una matrice ortogonale, anche quelli complessi, hanno valore assoluto $1$. Autospazi relativi a differenti autovalori sono ortogonali tra loro.

Decomposizioni lungo piani

Data una matrice ortogonale $Q$, esiste una matrice ortogonale $P$, tale che:

$P^{-1}QP=\left(\begin{array}{c}{R}_1\\ & R_2\\ & & \ddots \\ & & & R_k\\ & & & & \pm 1\\ & & & & & \ddots \\ & & & & & & \pm 1\end{array}\right)$

dove $R_1,\dots ,R_k$ denotano matrici di rotazione $2\times 2$. Intuitivamente, questo risultato dice che ogni matrice ortogonale descrive una combinazione di rotazioni e riflessioni su piani ortogonali. Le matrici $R_1,\dots ,R_k$ corrispondono alle coppie di autovalori complessi coniugati di $Q$.

Decomposizione QR

Template:Vedi anche Se $A$ è una arbitraria matrice di tipo $m\times n$ di rango $n$ (cioè $m\ge n$), si può sempre scrivere:

$A=Q\left(\begin{array}{c}R\\ 0\end{array}\right)$

dove $Q$ è una matrice ortogonale di tipo $m\times n$ e $R$ è una matrice triangolare superiore di tipo $n\times n$ con valori positivi sulla diagonale principale. La decomposizione QR può essere dimostrata applicando l'ortogonalizzazione di Gram-Schmidt alle colonne di $A$.

Questa decomposizione risulta utile per risolvere numericamente i sistemi di equazioni lineari e i problemi di minimi quadrati.

Matrici ortogonali e rappresentazione delle algebre di Clifford

Template:Vedi anche Alle matrici ortogonali si può attribuire un secondo significato geometrico che si collega alla rappresentazione matriciale delle algebre di Clifford. Ad esempio, i vettori della base canonica di ${ℝ}^2$ sono $e_1=[1,0]$ e $e_2=[0,1]$ e un generico vettore $[x,y]$ di questo piano cartesiano si può scrivere:

$[x,y]=x[1,0]+y[0,1]$

La matrice ortogonale:

$E_1:=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$

rappresenta la riflessione rispetto alla bisettrice $y=x$, poiché scambia le due componenti di ogni vettore piano:

$\left[\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}y& x\end{array}\right]$

La matrice ortogonale:

$E_2:=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$

rappresenta invece la riflessione rispetto all'asse $x$, poiché il punto $[xy]$ ha come immagine $[x,-y]$:

$\left[\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}x& -y\end{array}\right]$

Per i due prodotti di queste matrici si trova:

$E_1\times E_2=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$

$E_2\times E_1=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]$

Si tratta delle due rotazioni nel piano di $\pi /2$ e di $-\pi /2$, rotazioni opposte: quindi le due matrici $E_i$ anticommutano. In formule:

$E_1^2=E_2^2=I{E}_1{E}_2=-E_2{E}_1$

Si considerino ora $E_1$ ed $E_2$ come vettori di base del piano bidimensionale delle loro combinazioni lineari:

$(x,y):=x{E}_1+y{E}_2=\left[\begin{array}{cc}y& x\\ x& -y\end{array}\right]$

sfruttando la composizione:

$A\cdot B:=\frac{1}{2}(AB+BA)$

si trova:

$\left[\begin{array}{cc}y& x\\ x& -y\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}v& u\\ u& -v\end{array}\right]=\frac{1}{2}(\left[\begin{array}{cc}xu+yv& yu-xv\\ xv-yu& xu+yv\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}xu+yv& xv-yu\\ yu-xv& xu+yv\end{array}\right])=\left[\begin{array}{cc}xu+yv& 0\\ 0& xu+yv\end{array}\right]$

Per il quadrato di una di queste entità in particolare:

$\left[\begin{array}{cc}y& x\\ x& -y\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}y& x\\ x& -y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{x}^2+y^2& 0\\ 0& x^2+y^2\end{array}\right]$

Si può quindi definire come prodotto interno di $A$ e $B$ la precedente composizione, a meno della matrice unità $I_2$. Questo è lecito in quanto chiaramente si tratta di una forma bilineare simmetrica positiva. Il prodotto interno di una entità matriciale e vettoriale con sé stessa fornisce il quadrato della sua norma.

Dato che le entità base anticommutano si vede che:

$E_1\cdot E_2=0$

Le entità $E_1$ ed $E_2$ sono ortogonali secondo entrambe le loro interpretazioni: sono matrici ortogonali e rappresentano vettori di base ortogonali in quanto matrici anticommutative.

Matrici ortogonali trigonometriche

Matrice ortogonale 2×2

$\left[\begin{array}{cc}\cos (\alpha )& \mp \sin (\alpha )\\ \sin (\alpha )& \pm \cos (\alpha )\end{array}\right]$

Matrice ortogonale 3×3

$\left[\begin{array}{ccc}\cos (\alpha )\cos (\gamma )-\sin (\alpha )\sin (\beta )\sin (\gamma )& -\sin (\alpha )\cos (\beta )& -\cos (\alpha )\sin (\gamma )-\sin (\alpha )\sin (\beta )\cos (\gamma )\\ \cos (\alpha )\sin (\beta )\sin (\gamma )+\sin (\alpha )\cos (\gamma )& \cos (\alpha )\cos (\beta )& \cos (\alpha )\sin (\beta )\cos (\gamma )-\sin (\alpha )\sin (\gamma )\\ \cos (\beta )\sin (\gamma )& -\sin (\beta )& \cos (\beta )\cos (\gamma )\end{array}\right]$

Queste matrici sono anche matrici di rotazione di coordinate. Utilizzando le equazioni di rotazione di uno spazio n-dimensionale si possono costruire matrici ortogonali trigonometriche di dimensione $n\times n$.

Bibliografia

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Voci correlate

• Algebra di Clifford
• Gruppo ortogonale
• Matrice antisimmetrica
• Matrice normale
• Matrice simplettica
• Matrice trasposta coniugata
• Matrice unitaria
• Teorema di Schur-Horn

Collegamenti esterni

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