Quadrato (algebra)

Il grafico di $y=x^2$, per i valori di $x$ compresi tra $0$ e $25$.

In algebra, viene definito quadrato di un numero $x$ l'elevamento dello stesso alla seconda potenza, ossia la sua moltiplicazione per sé stesso eseguita una volta:

$x^2=x\cdot x.$

Il termine quadrato viene dalla geometria, poiché l'area di un quadrato si ottiene appunto moltiplicando il lato per sé stesso.

Il quadrato di un numero immaginario è un numero reale minore o uguale a zero, mentre per i numeri complessi si calcola

${(a+ib)}^2=a^2-b^2+i\cdot 2ab.$

Proprietà

• Il quadrato di un numero reale è sempre maggiore o uguale a zero, dato che il prodotto di valori con lo stesso segno è sempre positivo. Quindi

$x^2\ge 0\mathrm{\forall }x\in ℝ.$

• Per lo stesso motivo vale la relazione

$x^2={(-x)}^2.$

Ad esempio il quadrato di $2$ è $4$, ma anche il quadrato di $-2$ è uguale a $4$.

• Il quadrato di un numero immaginario è sempre minore di zero, perché elevando al quadrato l'unità immaginaria si ottiene un numero negativo, che si moltiplica poi con il quadrato del coefficiente (che è positivo).
• la somma dei numeri dispari in ordine è un quadrato perfetto di un numero pari o dispari (proprietà nota al matematico greco Euclide):

$1=1^2$

$1+3=2^2$

$1+3+5=3^2$

$1+3+5+7=4^2$

$1+3+5+7+9=5^2$, da cui:

$1^2=1$

$2^2=1^2+3$

$3^2=2^2+5$

$4^2=3^2+7$

$5^2=4^2+9$

$n^2=(n-1{)}^2+2n-1$ che risolta porta, infatti, ad una identità.

Da una formula siffatta si identificano un sottoinsieme infinito numerabile delle terne pitagoriche, per ogni $\sqrt{2n-1}$ intero. Ad es. : (3, 4, 5) con $n=5$; (5, 12 ,13); (7, 24 ,25); (9, 40, 41); (11, 60, 61); (13, 84, 85); (15, 112, 113); (17, 144, 145); (19, 180, 181); (21, 220, 221); (23, 264, 265).

Quadrati perfetti

Template:Vedi anche Il quadrato di un numero intero diverso da zero è sempre un numero naturale. I numeri naturali che sono quadrati di numeri interi si definiscono quadrati perfetti. Di seguito alcune proprietà:

• Il quadrato di un qualsiasi numero intero $n$ può essere rappresentato anche dalla somma

$1+1+2+2+\dots +(n-1)+(n-1)+n.$

Ad esempio

$4^2=1+1+2+2+3+3+4=16.$

• Il quadrato di un qualsiasi numero intero $n$ è inoltre uguale alla somma dei primi $n$ numeri dispari:

$5^2=1+3+5+7+9=25$

indicabile attraverso la formula

$n^2=\sum _{k=0}^{n-1}2k+1.$

• Il quadrato di un qualsiasi numero intero $n$ è inoltre uguale alla somma del numero $n$ e dei primi $n-1$ numeri pari:

$5^2=5+2+4+6+8=25$

indicabile attraverso la formula

$n^2=n+\sum _{k=1}^{n-1}2k.$

• La somma dei quadrati dei primi n numeri naturali vale

$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}.$

Voci correlate

• Numero quadrato
• Quadrato (geometria)
• Cubo
• Potenza (matematica)
• Radice quadrata
• Potenza di due