Logaritmo naturale

Grafico di y=ln(x)

Il logaritmo naturale (o logaritmo neperiano) è il logaritmo in base e, dove $e$ è uguale a $2,71828\dots$ Il logaritmo naturale è definito per tutte le $x$ reali e positive, ma anche per i numeri complessi diversi da zero.

Definizione

Se la funzione esponenziale è stata definita usando una serie infinita, il logaritmo naturale può essere definito come la sua funzione inversa, intendendo che $\ln (x)$ è il numero per cui $e^{\ln (x)}=x$. Dal momento che il dominio della funzione esponenziale include tutti i numeri reali positivi e poiché la funzione esponenziale è strettamente crescente, questa è definita per tutte le $x$ reali positive.

In alternativa è possibile definire il logaritmo come segue: il logaritmo naturale di $a$ è l'area sottesa dal grafico di $1/x$ da $1$ ad $a$. In altre parole, è il valore dell'integrale

$\ln (a)=\underset{1}{\overset{a}{\int }}\frac{1}{x}dx,\text{ per ogni }a>0.$

Questo definisce il logaritmo perché soddisfa la proprietà fondamentale dei logaritmi:

$\ln (ab)=\ln (a)+\ln (b).$

Questo può essere dimostrato definendo $t=x/a$ e mediante la regola della sostituzione degli integrali, come segue:

$\ln (ab)=\underset{1}{\overset{ab}{\int }}\frac{1}{x}dx=\underset{1}{\overset{a}{\int }}\frac{1}{x}dx+\underset{a}{\overset{ab}{\int }}\frac{1}{x}dx=\underset{1}{\overset{a}{\int }}\frac{1}{x}dx+\underset{1}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{t}dt=\ln (a)+\ln (b).$

Il numero $e$ può essere definito come l'unico numero reale $a$ tale che $\ln (a)=1.$

Convenzioni

• In matematica si è soliti utilizzare la scrittura "$\log (x)$" per intendere ${\log }_e(x);$ altrimenti si è soliti specificare la base nella scrittura (ad esempio ${\log }_{10}(x)$ è il logaritmo in base $10$ di $x$).
• In ingegneria, biologia e altre scienze generalmente si scrive "$\ln (x)$" o (raramente) "${\log }_e(x)$" per intendere il logaritmo naturale di $x$, mentre si scrive "$\log (x)$" per intendere ${\log }_{10}(x).$
• In alcuni testi della fine del XX secolo, il logaritmo in base 10 veniva scritto con l'iniziale maiuscola e sottintendendo la base: $\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}$.
• Nei più comuni linguaggi di programmazione, tra cui C, C++, Fortran, e BASIC, "log" o "LOG" sottintendono il logaritmo naturale.
• Nelle calcolatrici il logaritmo naturale è "ln", mentre "log" è il logaritmo in base $10$.
• Nel campo dell'analisi asintotica della complessità degli algoritmi, per $\log (N)$ si sottintende il logaritmo in base 2 di $N.$

La funzione inversa dell'esponenziale in base e

La funzione logaritmo è la funzione inversa della funzione esponenziale, quindi si ha che:

$e^{\ln (x)}=x,$ per tutte le $x$ positive e

$\ln (e^x)=x,$ per tutte le $x$ reali.

In altre parole, la funzione logaritmo è la corrispondenza biunivoca dall'insieme di numeri reali positivi all'insieme di tutti i numeri reali. Nello specifico, è un isomorfismo da un gruppo di numeri reali positivi sotto moltiplicazione al gruppo dei numeri reali sotto addizione.

I logaritmi possono essere definiti per una qualsiasi base reale strettamente positiva e diversa da $1$, non solo $e$, inoltre possono essere utili nella risoluzione di equazioni in cui l'incognita appare all'esponente di una qualsiasi quantità.

Derivata

La derivata della funzione logaritmo naturale è data da

$\frac{d}{dx}\ln (x)=\frac{1}{x}.$

Serie comuni

La serie di Taylor centrata in $0$ del logaritmo naturale è:

$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{x}^n,\text{ per }-1<x\le 1.$

Utilizzando l'identità

$\ln x=\mathrm{artanh}\left(\frac{x^2-1}{x^2+1}\right),\text{ per }x>0,$

e sostituendo $\frac{x^2-1}{x^2+1}$ nella serie di Taylor dell'arcotangente iperbolica si ottiene

$\ln x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2n+1}{\left(\frac{x^2-1}{x^2+1}\right)}^{2n+1},\text{ per }x>0.$

Applicando la trasformazione binomiale alla serie di Taylor si ottiene la seguente serie, valida per ogni $x$ con valore assoluto maggiore di $1$:

$\ln \frac{x}{x-1}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n{x}^n}=\frac{1}{x}+\frac{1}{2x^2}+\frac{1}{3x^3}+\cdots .$

Si noti inoltre che $\frac{x}{x-1}$ è la sua stessa funzione inversa, quindi per ottenere il logaritmo naturale di un certo numero $y$ è sufficiente sostituire $\frac{y}{y-1}$ al posto di $x$.

Una serie esotica dovuta a Bill Gosper è la seguente:

$\frac{1}{\ln x}=\frac{1}{x-1}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{-n}}{1+x^{2^{-n}}},\text{ per }x>0.$

Un altro procedimento per la stima di $\ln (x)$ è fornito dall'algoritmo Newton-Raphson: $y=\ln (x)$ è la soluzione dell'equazione $e^y-x=0$, che partendo da una approssimazione arbitraria $y_0$, si può ottenere iterativamente trovando un'approssimazione successiva, progressivamente più vicina.

$y_{n+1}=y_n-\frac{g(y_n)}{g^{\prime }(y_n)}=y_n-\frac{e^{y_n}-x}{e^{y_n}}=y_n-1+\frac{x}{e^{y_n}}.$

Al posto dell'esponenziazione è possibile sfruttare o la serie di Taylor per l'esponenziale, o il limite fondamentale $\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{y_n}{m})}^m$ per ottenere risultati algebrici.

Integrali e regole di integrazione

L'integrale della funzione logaritmo naturale si risolve per parti:

$\int \ln (x)dx=x\ln (x)-x+C.$

Il logaritmo naturale è fondamentale per rapide integrazioni di funzioni della forma $g(x)=f^{\prime }(x)/f(x)$ che si traducono nella scrittura $\ln (|f(x)|)$: l'integrale di una derivata fratto la sua funzione è uguale al logaritmo naturale del valore assoluto di quella funzione. Si tratta della diretta conseguenza della regola di derivazione per le funzioni composte, ossia:

$\frac{d}{dx}(\ln \left|x\right|)=\frac{1}{x}.$

Cioè

$\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C,$

e

$\int \frac{f^{\text{'}}(x)}{f(x)}dx=\ln |f(x)|+C.$

Esempi

Con quest'ultima regola, è possibile calcolare gli integrali della tangente e della cotangente sfruttando le loro definizioni:

$\int \tan (x)dx=\int \frac{\sin (x)}{\cos (x)}dx,$

$\int \tan (x)dx=\int \frac{-\frac{d}{dx}\cos (x)}{\cos (x)}dx.$

Da cui ponendo $f(x)=\cos (x)$ si ha che $f^{\prime }(x)=-\sin (x)$ e quindi:

$\int \tan (x)dx=-\ln |\cos (x)|+C,$

$\int \cot (x)dx=\ln |\sin (x)|+C,$

dove $C$ è la costante reale arbitraria degli integrali indefiniti.

Calcolo del logaritmo naturale e cambio di base

Prima della diffusione delle calcolatrici, la formula del cambio di base logaritmica era necessaria per il calcolo dei logaritmi neperiani, riportandoli su base $10$. È ancora utile per ottenere l'ordine di grandezza di un numero neperiano (che è appunto una potenza di $10$):

${\log }_{a}x=\frac{{\log }_{b}x}{{\log }_{b}a},$

che diventa:

$\ln x=\frac{\mathrm{Log}x}{\mathrm{Log}e}.$

Alla fine delle tavole dei logaritmi, la tabella di trasformazione riportava i valori di:

$\mathrm{Log}e=0,43429\dots$

e

$\frac{1}{\mathrm{Log}e}=2,30258\dots .$

Bibliografia

• Guido Fubini Lezioni di analisi matematica (Torino: Società tipografico-editrice nazionale, 1920)
• Paolo Marcellini, Carlo Sbordone (2002): Elementi di analisi matematica uno, Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-3383-8
• Walter Rudin (1953): Principi di analisi matematica, McGraw-Hill Libri Italia, ISBN 88-386-0647-1
• Template:Cita libro
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• Template:En A. W. Knapp (2005): Basic Real Analysis, Birkhauser, ISBN 0-8176-3250-6
• Template:En Nicolas Bourbaki (2004): Elements of Mathematics. Functions of a real variable, Springer, ISBN 3-540-65340-6

Voci correlate

• Tavola degli integrali indefiniti di funzioni logaritmiche
• Serie di Mercator

Collegamenti esterni

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