Trasformazione binomiale

In matematica, la trasformazione binomiale è una trasformazione di una successione tramite differenze finite. Le trasformazioni binomiali sono strettamente legate alla somma di Eulero.

Descrizione

La trasformazione binomiale di una successione $\{a_k\}$ è la successione $\{s_n\}$ definita come:

$s_n=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a_k$

Formalmente si può scrivere $(Ta{)}_n=s_n$, dove $T$ è un operatore definito su un opportuno spazio di successioni con matrice infinita $\{T_{nk}\}$:

$s_n=(Ta{)}_n=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{T}_{nk}{a}_k$

La trasformazione è un'involuzione, vale a dire:

$TT=1$

o equivalentemente:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{T}_{nk}{T}_{km}={\delta }_{nm}$

dove $\delta$ è il delta di Kronecker. La successione originale si ritrova dunque tramite la stessa formula:

$a_n=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})s_k$

I primi termini della successione trasformata sono i seguenti:

$s_0=a_0$

$s_1=-(\mathrm{△}a{)}_0=-a_1+a_0$

$s_2=({\mathrm{△}}^{2}a{)}_0=-(-a_2+a_1)+(-a_1+a_0)=a_2-2a_1+a_0$

$\dots$

$s_n=(-1{)}^n({\mathrm{△}}^{n}a{)}_0$

dove $\mathrm{\Delta }$ è l'operatore di differenza finita in avanti. Alcuni studiosi definiscono la trasformazione binomiale con un altro segno:

$t_n=\sum _{k=0}^n(-1{)}^{n-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a_k$

In questo modo essa non è più involutoria; la sua inversa invece è:

$a_n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})t_k$

Operatore di Shift

La trasformazione binomiale è l'operatore di shift per i numeri di Bell:

$B_{n+1}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})B_k$

dove $B_n$ sono i numeri di Bell.

Funzione generatrice

La trasformazione connette funzioni generatrici associate alla serie. Per la funzione generatrice ordinaria, sia:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$

e:

$g(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_n{x}^n$

allora:

$g(x)=(Tf)(x)=\frac{1}{1-x}f\left(\frac{x}{x-1}\right)$

Generalizzazione

Si può definire un'altra trasformazione ponendo:

$u_n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^k(-c{)}^{n-k}{b}_k$

che fornisce:

$U(x)=\frac{1}{cx+1}B\left(\frac{ax}{cx+1}\right)$

dove $U$ e $B$ sono le ordinarie funzioni generatrici associate alle serie $\{u_n\}$ e $\{b_n\}$ rispettivamente. Nel caso in cui la trasformazione binomiale sia definita come:

$\sum _{i=0}^n(-1{)}^{n-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})a_i=b_n$

Si ponga questa somma uguale alla funzione $𝔍(a{)}_n=b_n$. Considerando una nuova tabella delle differenze all'indietro, se si prendono i primi elementi di ogni riga per formare una nuova successione $\{b_n\}$ allora la trasformazione binomiale seconda della successione originale è:

${𝔍}^2(a{)}_n=\sum _{i=0}^n(-2{)}^{n-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})a_i$

Ripetendo questo procedimento k volte segue che:

${𝔍}^k(a{)}_n=b_n=\sum _{i=0}^n(-k{)}^{n-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})a_i$

il cui inverso è:

${𝔍}^{-k}(b{)}_n=a_n=\sum _{i=0}^n{k}^{n-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})b_i$

Si può generalizzare ciò come:

${𝔍}^k(a{)}_n=b_n=(𝐄-k{)}^n{a}_0$

dove $𝐄$ è l'operatore di shift. Il suo inverso è:

${𝔍}^{-k}(b{)}_n=a_n=(𝐄+k{)}^n{b}_0$

Bibliografia

• Template:En John H. Conway and Richard K. Guy, 1996, The Book of Numbers
• Template:En Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming Vol. 3, (1973) Addison-Wesley, Reading, MA.
• Template:En Helmut Prodinger, 1992, Some information about the Binomial transform Template:Webarchive
• Template:En Michael Z. Spivey and Laura L. Steil, 2006, The k-Binomial Transforms and the Hankel Transform
• Template:En Borisov B. and Shkodrov V., 2007, Divergent Series in the Generalized Binomial Transform, Adv. Stud. Cont. Math., 14 (1): 77-82

Voci correlate

• Differenza finita
• Somma di Eulero
• Spazio delle successioni
• Successione (matematica)

Collegamenti esterni

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