Serie di Mercator

In matematica, per serie di Mercator o serie di Newton-Mercator si intende la serie di Taylor della funzione logaritmo naturale.

Essa è data dalla formula

$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}{x}^n=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\dots$ ,

espressione valida per $-1<x\le 1$.

Questa serie fu scoperta indipendentemente da Isaac Newton, Nicolaus Mercator e Gregorio di San Vincenzo.

Fu pubblicata per la prima volta nel 1668 nel trattato Logarithmo-technica di Nicolaus Mercator.

Derivazione

La serie può essere ricavata differenziando ripetutamente la funzione logaritmo naturale iniziando con

$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}.$

In alternativa, si può partire con l'uguaglianza (la serie geometrica):

$1+t+t^2+\dots +t^{n-1}=\frac{1-t^n}{1-t}|t|<1,$

la quale fornisce, in ragione $-1<-t<1$ e per $n\to +\mathrm{\infty }$:

$\frac{1}{1+t}=1-t+t^2-t^3+\cdots$

Integriamo i membri da $0$ a $x$:

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{1+t}=\underset{0}{\overset{x}{\int }}(1-t+t^2-t^3+\cdots )dt,$

e svolgiamo questi integrali: il primo vale immediatamente

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{1+t}=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{(1+t{)}^{\prime }}{1+t}dt=\ln (x+1),$

per il secondo, dato che la serie converge uniformemente per $|x|<1$, possiamo integrare termine a termine:

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}(1-t+t^2-t^3+\cdots )dt=\underset{0}{\overset{x}{\int }}dt-\underset{0}{\overset{x}{\int }}tdt+\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{2}dt-\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{3}dt+\cdots =x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$

Quindi abbiamo ottenuto:

$x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots =\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}{x}^k}{k}=\ln (1+x)\text{ per }|x|<1.$

Caso particolare

Ponendo $x=1$, la serie di Mercator si riduce alla cosiddetta serie armonica a segni alterni

$\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}=\ln 2.$

Si verifica infatti che la serie

$\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}{x}^k}{k},$

converge uniformemente anche nel punto $x=1$ (per il criterio di Leibniz), e pertanto, essendo somma di funzioni continue in quel punto (polinomi), è ivi continua. Allora la serie e la funzione $\ln (1+x)$ ammettono lo stesso limite per $x\to 1^{-}$, cioè:

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}{x}^k}{k}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\ln (1+x)=\ln 2.$

Questa si può considerare anche caso particolare relativo a $z=1$ della funzione eta di Dirichlet $\eta (z)$.

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni
• Template:Sv Eriksson, Larsson, Wahde (2002): Matematisk analys med tillämpningar, part 3, Göteborg, p. 10.