Cotangente

Grafico della funzione y=cot(x)

La cotangente di un angolo acuto corrisponde al rapporto fra il cateto ad esso adiacente e quello opposto

In matematica, in particolare in trigonometria, la cotangente di un angolo è definita come la proiezione sull'asse $x$ del punto di incontro tra il prolungamento del secondo lato dell'angolo orientato e la retta che tange la circonferenza goniometrica nel punto $(0;1)$. Spesso si usa definirla anche tramite il rapporto tra il coseno ed il seno dello stesso angolo:

$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}.$

Attenzione: la cotangente non è il reciproco della tangente: $\cot x=\frac{1}{\tan x}$, come molti libri di matematica riportano, infatti è facile notare che per $x=\frac{\pi }{2}$ le due funzioni sono diverse.

In un triangolo rettangolo, la cotangente di un angolo acuto corrisponde al rapporto fra il cateto ad esso adiacente e quello opposto.

La cotangente è una funzione continua nel dominio ed è periodica con periodo minimo $\pi$, cioè $\cot x=\cot (x+k\pi ),k\in \mathbb{Z}$. Non è una funzione limitata, né invertibile. Tuttavia se si restringe il dominio all'intervallo $(0,\pi )$ la funzione cotangente ristretta risulta invertibile in quanto strettamente monotona (in particolare strettamente decrescente) in tale intervallo. La funzione inversa della cotangente ristretta all'intervallo $(0,\pi )$ prende il nome di arcocotangente.

La derivata della funzione cotangente è

$\frac{d}{dx}\cot x=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}=-(1+{\cot }^{2}x),$

mentre l'insieme delle sue funzioni primitive è:

$\int \cot x\mathrm{d}x=\ln |\sin x|+c.$

Lo sviluppo di Taylor della funzione cotangente (qui arrestato al quinto ordine) è:

$\cot x=\frac{1}{x}-\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}-\frac{2x^5}{945}+o(x^6).$

Inoltre la cotangente è una funzione dispari e ciò comporta che:

$\cot (-x)=-\cot x.$

La seguente tabella elenca i principali valori notevoli della funzione cotangente:

x in radianti	0	$\frac{\pi }{12}$	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{5\pi }{12}$	$\frac{\pi }{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi }{2}$	$2\pi$
x in gradi	0°	15°	30°	45°	60°	75°	90°	180°	270°	360°
cot(x)	$\nexists$	$2+\sqrt{3}$	$\sqrt{3}$	1	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$2-\sqrt{3}$	0	$\nexists$	0	$\nexists$

Bibliografia

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Voci correlate

• Funzioni trigonometriche
• Arcocotangente
• Tangente (matematica)

Collegamenti esterni

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