Teorema di Heine-Borel

Template:F In matematica, in particolare nella topologia degli spazi metrici, il teorema di Heine–Borel è un teorema che caratterizza gli spazi compatti in ${ℝ}^n$. Prende il nome dai matematici Eduard Heine e Émile Borel.

Il teorema

Il teorema di Heine-Borel afferma che se $E\subseteq {ℝ}^n$, allora $E$ è compatto se e solo se è chiuso e limitato.

Alla luce di questo teorema, in analisi reale la seconda proprietà (chiusura e limitatezza) viene a volte utilizzata come definizione di compattezza. L'equivalenza tuttavia cessa di esser vera su sottospazi di spazi metrici (e topologici) più generali; in un qualunque spazio metrico, comunque, la compattezza rimane condizione sufficiente (ma non necessaria) affinché un insieme sia chiuso e limitato.

Dimostrazione con il teorema di Bolzano-Weierstrass

Si dimostra il teorema in ${ℝ}^2$, è poi possibile estendere la dimostrazione in ${ℝ}^n$.

Si consideri un insieme $A$ limitato, cioè contenuto in una palla $B(x_0,r)$ a sua volta contenuta in una palla più grande $C(0,R)$. Si consideri una successione in $A$, che essendo in ${ℝ}^2$ avrà due coordinate:

$X_k=(X_{k1},X_{k2}),\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}$

e tale che:

$\mathrm{\forall }y\in B,d(y,X_0)<r,d(y,0)\le d(y,x_0)+d(x_0,0)<R.$

Si ha:

$|X_{k1}|\le d(X_k,0)\le R,|X_{k2}|\le d(X_k,0)\le R.$

Essendo quindi $X_{k1}$ limitata, per il teorema di Bolzano-Weierstrass è possibile estrarre una sottosuccessione che converga:

$X_{k{h}_1}\to X_{0_1}$

Estraendo una sottosuccessione $X_{k{h}_2}$ di $X_{k2}$ convergente, non è detto che converga per stessi indici di $X_{k{h}_1}$. Si estraggono allora altre due sottosuccessioni convergenti (lo sono tutte) con gli stessi indici:

$X_{kh{j}_1}\to X_{0_1},X_{kh{j}_2}\to X_{0_2}.$

Si ha quindi:

$X_k=(X_{kh{j}_1},X_{kh{j}_2})\to (X_{0_1},X_{0_2})=X_0.$

Per dimostrare che $X_0\in A$, si considera una successione $X_k$ appartenente ad $A$.

Per assurdo si ponga che $X_0\notin A$ e $A^C$. Se $A$ è chiuso, $A^C$ è aperto, quindi esiste una palla $B(X_0,D)$ contenuta in $A^C$. Esiste pertanto un $k^{\prime }$ tale che per $k>k^{\prime }$ $X_k$ appartiene a $B,$ il che è assurdo, perché $X_k$ non può appartenere sia a $B$ che ad $A$.

Corollari

Una conseguenza notevole di questo teorema è la compattezza della sfera in ${ℝ}^n$.

Infatti questa è chiusa, poiché è un luogo di zeri di una funzione continua (ad esempio $f(x)=||x||-1$), ed è limitata. Analogamente la palla unitaria chiusa di ${ℝ}^n$, essendo limitata e ovviamente chiusa, è compatta.

Da ciò segue che ${ℝ}^n$, non essendo compatto, non è omeomorfo alla palla unitaria chiusa in esso contenuta.

Dimostrazione topologica

Sia $K\subseteq {ℝ}^n$ un compatto. Si consideri il ricoprimento di palle aperte:

$ℛ=\{B_n(0):n\in \mathbb{N}\}.$

Esso deve ammettere un sottoricoprimento finito $ℱ$, dunque $K$ è contenuto nella palla di raggio massimo appartenente a $ℱ$. Da ciò segue che $K$ è limitato. Inoltre i compatti in uno spazio di Hausdorff sono chiusi, dunque $K$ è anche chiuso.

Viceversa, supponiamo che $K\subseteq {ℝ}^n$ sia chiuso e limitato. Allora $K\subseteq \overline{B_r(0)}$. Ma la n-palla è omeomorfa all'n-cubo:

$K\subseteq \overline{B_r(0)}\simeq [0,1{]}^n.$

Si può provare facilmente che $[0,1]$ è compatto anche senza il teorema di Heine-Borel, dunque l'n-cubo è compatto, perché prodotto di compatti (teorema di Tychonoff).

Si ha quindi che anche $\overline{B_r(0)}$ è compatta e quindi $K$ è un sottospazio chiuso di uno spazio compatto (si noti che essendo $\overline{B_r(0)}$ chiuso, $K$ è chiuso non solo in ${ℝ}^n$, ma anche nella topologia indotta sulla palla), dunque $K$ è compatto.

Estensioni

Spazi metrici

Il teorema può essere esteso agli spazi metrici nelle seguenti forme.

Uno spazio metrico è compatto se e solo se è completo e totalmente limitato.

Un sottospazio di uno spazio metrico completo è compatto se e solo se è chiuso e totalmente limitato. Dim: è sufficiente provare che un sottospazio di uno spazio metrico completo è a sua volta completo se e solo se è chiuso.

Spazi vettoriali reali e complessi

Il teorema si applica anche agli spazi vettoriali sul campo reale o complesso di dimensione finita. Cessa di esser valido in spazi di dimensione infinita. Anzi, si può dimostrare che esso è vero se e solo se lo spazio vettoriale (reale o complesso) è di dimensione finita.

Collegamenti esterni

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