Raggio (geometria)

Raggio di un cerchio

Raggio (r) e diametro (d) di una sfera.

Secondo la definizione moderna della geometria, il raggio di un cerchio o di una sfera è un segmento di retta avente un estremo sulla circonferenza o superficie sferica e l'altro estremo nel centro della figura. Per estensione si definisce raggio di un cerchio o di una sfera anche la lunghezza di un tale segmento. Il raggio misura la metà del diametro.

Più generalmente — in geometria, ingegneria, teoria dei grafi, e in molti altri settori — il raggio di qualcosa (per esempio di un cilindro, di un grafo, o di un componente meccanico) è la distanza dei suoi punti più esterni dal centro o asse.

La definizione di raggio data per i cerchi e per le sfere si lascia estendere naturalmente al caso di iperspazi con più di tre dimensioni. Generalmente, un segmento che congiunge un punto di un'ipersfera al suo centro è un raggio dell'ipersfera.

In una spirale il raggio è una funzione dell'angolo. Tutte le circonferenze sono assimilabili a spirali con raggio costante.

Formule per i cerchi

Raggio dal diametro

Il raggio $R$ di un cerchio avente diametro $d$ è

$R=\frac{d}{2}.$

Raggio dalla circonferenza

Il raggio $R$ di un cerchio avente circonferenza $C$ è

$R=\frac{C}{2\pi }.$

Raggio del cerchio

Il raggio $R$ di un cerchio avente area $A$ è

$R=\sqrt{\frac{A}{\pi }}.$

Il raggio $R$ della circonferenza che attraversa tre punti non collineari $P_1,P_2,P_3$ è dato da

$R=\frac{|\overrightarrow{O{P}_1}-\overrightarrow{O{P}_3}|}{2\sin \theta },$

dove $\theta$ è l'angolo $\mathrm{\angle }{P}_1{P}_2{P}_3.$ La formula è calcolata utilizzando il teorema dei seni.

Con riferimento alla figura a destra, lo stesso raggio $R$ può anche essere espresso nel modo seguente:

$R=\frac{a}{2\sin \alpha },$

dove $a$ indica la lunghezza del segmento di estremi $B$ e $C,$ mentre $\alpha$ è l'angolo $\mathrm{\angle }BAC.$

Pertanto, se consideriamo tre punti di coordinate $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ e $(x_3,y_3),$ il raggio della circonferenza che li attraversa è dato da:

$R=\frac{\sqrt{((x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2)((x_2-x_3{)}^2+(y_2-y_3{)}^2)((x_3-x_1{)}^2+(y_3-y_1{)}^2)}}{2|x_1{y}_2+x_2{y}_3+x_3{y}_1-x_1{y}_3-x_2{y}_1-x_3{y}_2|}.$

Raggio dell'ellisse

Il raggio medio $R$ di un'ellisse è definito come il raggio di un cerchio di area (superficie) uguale a quella dell'ellisse.

È uguale alla radice quadrata del prodotto dei due semiassi dell'ellisse:

$R=\sqrt{ab}=a\sqrt[4]{1-e^2}.$

Si definisce cerchio principale di un'ellisse, il cerchio con centro nel centro dell'ellisse e di raggio $a,$ uguale al semiasse maggiore dell'ellisse.

Si definisce cerchio secondario di un'ellisse, il cerchio con centro nel centro dell'ellisse e di raggio $b,$ uguale al semiasse minore dell'ellisse.

Raggio del poligono

Il raggio di un poligono regolare è il segmento che unisce il centro a uno dei suoi vertici. Pertanto, la lunghezza di tale segmento è uguale al raggio della circonferenza circoscritta al poligono.

Il raggio $R$ di un poligono di $n$ lati di lunghezza $a_n$ ciascuno, è dato da:

$R=\sqrt{\frac{(a_n{)}^2}{2-2\cos (2\pi /n)}}=\frac{a_n}{2\sin (\pi /n)}.$

Il raggio in funzione della lunghezza dell'apotema $h$, è dato da:

$R=\frac{h}{\cos (\pi /n)}.$

Raccogliendo tutte le costanti (nella prima delle due formule), si può scrivere che il raggio $R$ del poligono è $R=R(a_n,n)$, ed è dato da $R=r_n{a}_n,$ con $r_n=1/(2\sin \frac{\pi }{n}).$

Si arriva così alla tabella dei seguenti numeri fissi:

$\begin{array}{ccccc}n& r_n& & n& r_n\\ 2& 0,50000000& & 10& 1,6180340-\\ 3& 0,5773503-& & 11& 1,7747328-\\ 4& 0,7071068-& & 12& 1,9318517-\\ 5& 0,8506508+& & 13& 2,0892907+\\ 6& 1,00000000& & 14& 2,2469796+\\ 7& 1,1523824+& & 15& 2,4048672-\\ 8& 1,3065630-& & 16& 2,5629154+\\ 9& 1,4619022+& & 17& 2,7210956-\end{array}$

che, noti la lunghezza e il numero di lati, permette di calcolare il raggio del poligono.

Raggio di un ipercubo

Il raggio $R$ di un ipercubo $d$-dimensionale e lato $a_n$, è:

$R=\frac{a_n}{2}\sqrt{d}.$

Voci correlate

• Raggio terrestre
• Curvatura

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni