Funzione elementare

Template:F In matematica, una funzione è detta elementare se è una funzione algebrica, esponenziale, logaritmica o se si ottiene da queste classi di funzioni mediante un numero finito di applicazioni delle operazioni aritmetiche elementari e della composizione di funzioni. Sono incluse in questo elenco anche le funzioni trigonometriche (legate all'esponenziale complesso tramite la formula di Eulero) e la funzione valore assoluto (in quanto $|x|:=\sqrt{x^2}$).

È una funzione elementare dunque qualsiasi combinazione, per quanto complicata, di questi operatori sopra menzionati, come ad esempio

$\frac{{\mathrm{e}}^{\tan (x)}}{1-x^2}\sin \left(\sqrt{1+{\ln }^{2}x}\right)$.

Tra le funzioni non elementari troviamo, tra le altre, la funzione segno, la funzione degli errori e la funzione che enumera gli elementi della successione di Fibonacci.

Algebra differenziale

In algebra differenziale si trova una definizione astratta di funzione elementare. Ricordiamo che un campo differenziale è un campo equipaggiato di un'operazione unaria di "derivazione", cioè una mappa $\partial :𝒦\to 𝒦$ tale che:

• $\partial (u+v)=\partial u+\partial v$ (l'operazione è lineare)
• $\partial (u\cdot v)=u\cdot \partial v+\partial u\cdot v$ (vale la regola di Leibniz)

Si definisce dunque come funzione elementare su $𝒦$ un elemento u appartenente all'estensione algebrica $𝒦[u]$ tale che

• u è algebrico su $𝒦$, o
• u è un esponenziale, cioè $\partial u=u\cdot \partial a$, per qualche a in $𝒦$, o
• u è un logaritmo, cioè $\partial u=\frac{\partial a}{a}$, per qualche a in $𝒦$.

Collegamenti esterni

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