Distribuzione normale multivariata

Funzione di densità di una normale multivariata

In teoria della probabilità e statistica, la distribuzione normale multivariata o distribuzione gaussiana multivariata o vettore gaussiano è una generalizzazione della distribuzione normale (univariata) a dimensioni più elevate. Una definizione è che un vettore di variabili aleatorie ha una distribuzione normale k-variata se ogni combinazione lineare delle sue k componenti ha distribuzione normale univariata. La sua importanza deriva principalmente dal teorema del limite centrale multivariato. La distribuzione normale multivariata è spesso utilizzata per descrivere, almeno approssimativamente, un qualunque insieme di variabili aleatorie a valori reali (possibilmente) correlate, ognuna delle quali è clusterizzata attorno ad un valore medio.

Definizioni

Notazione e parametrizzazione

La distribuzione normale multivariata di un vettore aleatorio k-dimensionale $𝐗=(X_1,\dots ,X_k{)}^{\mathrm{T}}$ può essere scritta secondo la notazione:

$𝐗\sim 𝒩(\mathit{\mu },\mathrm{\Sigma }),$

o, per rendere esplicito il fatto che $𝐗$ sia k-dimensionale,

$𝐗\sim {𝒩}_k(\mathit{\mu },\mathrm{\Sigma }),$

con un vettore della media di dimensione k

$\mathit{\mu }=\mathrm{E}[𝐗]=(\mathrm{E}[X_1],\mathrm{E}[X_2],\dots ,\mathrm{E}[X_k]{)}^{\mathbf{\text{T}}},$

e matrice di covarianza di dimensione $k\times k$

${\mathrm{\Sigma }}_{i,j}:=\mathrm{E}[(X_i-{\mu }_i)(X_j-{\mu }_j)]=\mathrm{Cov}[X_i,X_j]$

per cui $1\le i,j\le k.$ La matrice inversa della matrice di covarianza è chiamata matrice di precisione, e si indica come $𝑸={\mathrm{\Sigma }}^{-1}$.

Vettore aleatorio normale standard

Un vettore aleatorio a valori reali $𝐗=(X_1,\dots ,X_k{)}^{\mathrm{T}}$ è detto vettore aleatorio normale standard se tutte le sue componenti $X_n$ sono indipendenti e ognuna è una variabile aleatoria normale di valore medio nullo e varianza unitaria, cioè se $X_n\sim 𝒩(0,1)$ per tutti i valori di $n$.Template:Rp

Vettore aleatorio normale centrato

Un vettore aleatorio a valori reali $𝐗=(X_1,\dots ,X_k{)}^{\mathrm{T}}$ è chiamato vettore aleatorio normale centrato se esiste una matrice deterministica $𝑨$ di dimensione $k\times \ell$ tale per cui $𝑨𝐙$ ha la stessa distribuzione di $𝐗$ dove $𝐙$ è un vettore aleatorio normale standard con $\ell$ componenti.Template:Rp

Vettore aleatorio normale

Un vettore aleatorio a valori reali $𝐗=(X_1,\dots ,X_k{)}^{\mathrm{T}}$ è detto vettore aleatorio normale se esistono un vettore aleatorio $\ell$-dimensionale $𝐙$, che è un vettore aleatorio normale standard, un vettore $k$-dimensionale $\mathit{\mu }$, e una matrice $𝑨$ di dimensione $k\times \ell$, tale per cui $𝐗=𝑨𝐙+\mathit{\mu }$.Template:RpTemplate:Rp

Formalmente:

$𝐗\sim 𝒩(\mathit{\mu },\mathrm{\Sigma })⟺\text{esiste }\mathit{\mu }\in {ℝ}^k,𝑨\in {ℝ}^{k\times \ell }\text{ tale per cui }𝐗=𝑨𝐙+\mathit{\mu }\text{ per }{Z}_n\sim 𝒩(0,1),\text{i.i.d.}$

Da qui la matrice delle covarianze è $\mathrm{\Sigma }=𝑨{𝑨}^{\mathrm{T}}$.

Nel caso degenere in cui la matrice delle covarianze fosse singolare, la distribuzione corrispondente non ha densità; vedi la sezione seguente per dettagli. Questa situazione capita frequentemente in statistica; per esempio, nella distribuzione dei vettori dei residui nel metodo di regressione dei minimi quadrati ordinario. Le $X_i$ in genere non sono indipendenti; possono essere visti come il risultato dell'applicazione della matrice $𝑨$ all'insieme delle variabili gaussiane indipendenti $𝐙$.

Definizioni equivalenti

Le seguenti definizioni sono equivalenti alla definizione data in precedenza. Un vettore aleatorio $𝐗=(X_1,\dots ,X_k{)}^T$ ha una distribuzione normale multivariata se soddisfa una delle seguenti condizioni equivalenti.

• Ogni combinazione lineare $Y=a_1{X}_1+\cdots +a_k{X}_k$ delle proprie componenti è normalmente distribuita. Cioè, per un qualunque vettore costante $𝐚\in {ℝ}^k$, il valore aleatorio $Y={𝐚}^{\mathrm{T}}𝐗$ ha una distribuzione normale univariata, dove una distribuzione normale univariata con varianza nulla è un punto materiale sulla sua media.
• Esistono un vettore k-dimensionale $\mathit{\mu }$ e una matrice di dimensione $k\times k$ simmetrica e positiva semidefinita $\mathrm{\Sigma }$, tali per cui la funzione caratteristica di $𝐗$ è

${\phi }_{𝐗}(𝐮)=\exp (i{𝐮}^T\mathit{\mu }-\frac{1}{2}{𝐮}^T\mathrm{\Sigma }𝐮).$

La distribuzione normale sferica può essere caratterizzata come l'unica distribuzione in cui le componenti siano indipendenti in un qualunque sistema di coordinate cartesiano.

Voci correlate

• Variabile casuale multivariata
• Distribuzione normale

Collegamenti esterni

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