Distribuzione di Fisher-Snedecor

Template:NN Template:Variabile casuale In teoria delle probabilità la distribuzione di Fisher-Snedecor (o F di Snedecor, o Z di Fisher) è una distribuzione di probabilità continua che regola il rapporto "riscalato" tra due variabili aleatorie che seguono due distribuzioni ${\chi }^2$.

Viene impiegata nell'analisi della varianza e in generale per l'omonimo test F.

Prende il nome dai matematici George W. Snedecor (statunitense) e Ronald Fisher (britannico).

Definizione

La distribuzione di Fisher-Snedecor con parametri i numeri naturali $(m,n)$ governa la variabile aleatoria

$F=\frac{X/m}{Y/n}$,

dove $X$ e $Y$ sono variabili aleatorie indipendenti con rispettive distribuzioni chi quadrato con $m$ ed $n$ gradi di libertà, ${\chi }^2(m)$ e ${\chi }^2(n)$.

Caratteristiche

La distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri $(m,n)$ ha funzione di densità di probabilità

$f(x)=\frac{1}{\mathrm{B}(\frac{m}{2},\frac{n}{2})}\frac{1}{x}{\left(\frac{m^m{n}^n{x}^m}{(mx+n{)}^{m+n}}\right)}^{\frac{1}{2}}$,

dove $\mathrm{B}(\alpha ,\beta )$ è la funzione beta.

La sua funzione di ripartizione è data dalla funzione beta incompleta regolarizzata,

$F(x)=I_{\frac{mx}{mx+n}}(\frac{m}{2},\frac{n}{2})$.

La distribuzione ha momenti semplici di ordine $k$ infiniti per $k>n/2$, altrimenti pari a

${\mu }_k=\frac{n^k}{m^k}\cdot \frac{m(m+2)(m+4)\cdots (m+2k-2)}{(n-2)(n-4)(n-6)\cdots (n-2k)}$.

In particolare ha

• speranza matematica pari a

  $E[F]=\frac{n}{n-2}\text{ per }n>2;$

• varianza pari a

  $\text{Var}(X)=\frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2{)}^2(n-4)}\text{ per }n>4;$

• indice di asimmetria pari a

  ${\gamma }_1=2\sqrt{\frac{2(n-4)}{m(m+n-2)}}\frac{2m+n-2}{n-6}\text{ per }n>6;$

• indice di curtosi pari a

  ${\gamma }_2=12\cdot \frac{n^3+5m{n}^2+5m^{2}n-8n^2-32mn+22m^2+20n+44m-16}{m(m+n-2)(n-6)(n-8)}\text{ per }n>8.$

La sua moda è $0$ se $m⩽2$ e

$\frac{m-2}{m}\frac{n}{n+2}$ se $m⩾2$.

Altre distribuzioni

Per definizione, se una variabile aleatoria $F=\frac{X/m}{Y/n}$ segue la distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri $(m,n)$, allora la sua inversa $F^{-1}=\frac{Y/n}{X/m}$ segue la distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri $(n,m)$. Questa relazione permette di esprimere i quantili di una distribuzione in termini dei quantili dell'altra:

$P(F^{-1}⩽q)=P(F⩾q^{-1})=1-P(F⩽q^{-1})$.

Una generalizzazione di questa distribuzione è la distribuzione di Fisher-Snedecor non centrale, per la quale la variabile aleatoria $X$ nella definizione di $F=\frac{X/m}{Y/n}$ può seguire una distribuzione chi quadrato non centrale.

Se $T$ è una variabile aleatoria con distribuzione t di Student di parametro $\nu$, allora $F=T^2$ segue la distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri $(1,\nu )$.

Se $T^2$ è una variabile aleatoria con distribuzione di Hotelling di parametri $(p,m)$, allora $F=\frac{m-p+1}{mp}{T}^2$ segue la distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri $(p,m-p+1)$.

Se la variabile aleatoria $F$ segue la distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri $(m,n)$, allora $B=\frac{mF}{mF+n}$ segue la distribuzione Beta $\mathrm{B}(\frac{m}{2},\frac{n}{2})$.

Bibliografia

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Voci correlate

• Analisi della varianza
• Distribuzione chi quadrato
• Funzione beta di Eulero

Collegamenti esterni

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