Distribuzione chi quadrato non centrale

Template:Variabile casuale In teoria delle probabilità una distribuzione ${\chi }^2$ non centrale (chi quadrato, o chi quadro), è una distribuzione di probabilità che generalizza la distribuzione ${\chi }^2$, descrivendo la somma dei quadrati di variabili aleatorie con distribuzioni normali ridotte ma non centrate.

In statistica viene impiegata per l'analisi della varianza e per alcuni test di verifica d'ipotesi.

Definizione

La distribuzione ${\chi }^2(k,\lambda )$ descrive la variabile aleatoria

$X^2={\sum }_{i=1}^k{X}_i^2=X_1^2+\dots +X_k^2$,

dove $X_1,...,X_k$ sono variabili aleatorie variabili indipendenti aventi distribuzioni normali ridotte (ma non necessariamente centrate) $𝒩({\mu }_1,1),...,𝒩({\mu }_k,1)$, i cui valori attesi soddisfano

$\lambda ={\sum }_{i=1}^k{\mu }_i^2$.

Il parametro k è detto numero di gradi di libertà e $\lambda$ è il parametro di non centralità. (La notazione per $\lambda$ non è uniforme: alcuni autori prendono $\lambda$ pari alla metà, oppure alla radice quadrata di questa somma.)

In particolare, per $\lambda =0$ le variabili $X_i$ sono centrate e si ottiene nuovamente la distribuzione χ²:

${\chi }^2(k,0)={\chi }^2(k)$

È possibile definire la distribuzione χ² non centrale anche tramite variabili aleatorie indipendenti $Y_1,...,Y_i$ di distribuzione normale standard $𝒩(0,1)$, prendendo $X_i=Y_i+{\mu }_i$, ovvero

$X^2={\sum }_{i=1}^k(Y_i+{\mu }_i{)}^2$.

Indipendenza di λ

La distribuzione ${\chi }^2(k,\lambda )$ dipende da λ e non dai singoli valori μ_i.

Sullo spazio euclideo di dimensione k, infatti, si possono considerare i vettori

$\overline{X}=(X_1,\dots ,X_k)=(Y_1,\dots ,Y_k)+({\mu }_1,\dots ,{\mu }_k)=\overline{Y}+\overline{\mu }$;

la distribuzione di probabilità del vettore normale multivariato $\overline{Y}$ è isotropa, ovvero invariante per isometria. In particolare la variabile aleatoria $X^2$, che è il quadrato della norma di $\overline{X}=\overline{Y}+\overline{\mu }$, dipende dalle ${\mu }_i$ solo in termini della norma di $({\mu }_1,...,{\mu }_k)$, ovvero $\sqrt{\lambda }$.

Proprietà

Somma

Per definizione, la somma di variabili aleatorie di distribuzioni χ² non centrali è ancora una variabile aleatoria di distribuzione χ² non centrale (somma dei quadrati di variabili normali ridotte).

Più precisamente, la somma di due variabili aleatorie con distribuzioni ${\chi }^2(k^{\prime },{\lambda }^{\prime })$ e ${\chi }^2(k^{″},{\lambda }^{″})$ è una variabile aleatoria con distribuzione ${\chi }^2(k,\lambda )$, con $k=k^{\prime }+k^{″}$ e ${\lambda }^2=\lambda {\text{'}}^2+{\lambda }^{\prime }{\text{'}}^2$.

Mistura di distribuzioni χ²

La distribuzione χ² non centrale può essere espressa come mistura di distribuzioni χ², pesate secondo la distribuzione di Poisson.

In altri termini è la distribuzione di una variabile aleatoria Z, dipendente da una variabile aleatoria J di legge di Poisson $𝒫(\lambda /2)$, con distribuzione condizionata di Z rispetto a J data da ${\chi }^2(k+2J)$.

In particolare di χ²(k,λ) si possono descrivere

la densità di probabilità $f_{k,\lambda }=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{-\lambda /2}(\lambda /2{)}^j}{j!}{f}_{k+2j,0}(x),$

e la funzione di ripartizione $F_{k,\lambda }=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\lambda /2}\frac{(\lambda /2{)}^j}{j!}{F}_{k+2j,0}$

tramite la densità di probabilità $f_{k+2j,0}$ e la funzione di ripartizione $F_{k+2j,0}$ delle distribuzioni χ²(k+2j).

Caratteristiche

La funzione generatrice dei momenti della distribuzione χ²(k,λ) non centrale è

$g(t)=E[e^{t}Z]=\frac{e^{\lambda t/(1-2t)}}{(1-2t{)}^{k/2}}$

I primi momenti semplici della distribuzione sono

$\mu {\text{'}}_1=k+\lambda$

$\mu {\text{'}}_2=(k+\lambda {)}^2+2(k+2\lambda )$

$\mu {\text{'}}_3=(k+\lambda {)}^3+6(k+\lambda )(k+2\lambda )+8(k+3\lambda )$

$\mu {\text{'}}_4=(k+\lambda {)}^4+12(k+\lambda {)}^2(k+2\lambda )+4(11k^2+44k\lambda +36{\lambda }^2)+48(k+4\lambda )$

e i suoi primi momenti centrali sono

${\mu }_2=2(k+2\lambda )$

${\mu }_3=8(k+3\lambda )$

${\mu }_4=12(k+2\lambda {)}^2+48(k+4\lambda )$

La funzione caratteristica di χ²(k,λ) è

$\varphi (t)=\frac{e^{it\lambda /(1-i2t)}}{(1-i2t{)}^{k/2}}$.

Formule alternative

Densità di probabilità

La densità di probabilità $f_{k,\lambda }$ della distribuzione χ²(k,λ) non centrale può essere descritta tramite altre formule.

Una formula alternativa è

$f_{k,\lambda }=\frac{1}{2}{e}^{-(x+\lambda )/2}{\left(\frac{x}{\lambda }\right)}^{k/4-1/2}{I}_{k/2-1}(\sqrt{\lambda x})$

dove

$I_a(y):=(y/2{)}^a\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(y^2/4{)}^j}{j!\mathrm{\Gamma }(a+j+1)}$

è una funzione di Bessel del primo tipo, modificata.

Una terza formula è

$f(x)=e^{-\frac{\lambda }{2}}\sum _{r=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\frac{\lambda }{2}{)}^r{e}^{-\frac{x}{2}}{x}^{\frac{n}{2}+r-1}}{2^{\frac{n}{2}+r}r!\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+r)}=\frac{e^{-\frac{x+\lambda }{2}}}{x}(\frac{x}{2}{)}^{\frac{n}{2}}\sum _{r=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\frac{\lambda }{2}{)}^r{x}^r}{2^{r}r!\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+r)}$ per $x>0$

Funzione di ripartizione

Template:C Anche la funzione di ripartizione $F_{k,\lambda }$ della distribuzione χ²(k,λ) non centrale può essere descritta tramite altre formule. In particolare in statistica sono stati proposti alcuni metodi per cercare di calcolarne alcuni valori $F_{k,\lambda }(x_0)$.

Una formula ricorsiva, basata sulla funzione di ripartizione della distribuzione χ² (centrale) è

$F_{k,\lambda }(x)=F_{\frac{n}{2},0}(x)+\sum _{r>0}{P}_r(\frac{x}{2})$

dove

$P_0(x)=0P_1(x)=\frac{\lambda }{2}\frac{e^{-x}{x}^{n/2}}{\mathrm{\Gamma }(n/2+1)}$

$P_r(x)=\frac{{\lambda }^2}{4}\frac{2(r-2)}{r(r-1)(n/2+r-1)}{P}_{r-2}(x)-\frac{\lambda }{2}\frac{n/2+2r-3-x}{r(n/2+r-1)}{P}_{r-1}(x)$

Valori approssimati si possono invece ottenere tramite la distribuzione Gamma e i primi due o tre momenti, oppure tramite la distribuzione normale.

Distribuzioni non centrali

Utilizzando la distribuzione χ² non centrale come generalizzazione della distribuzione χ² (centrale) è possibile definire versioni non centrali delle distribuzioni t di Student, F di Fisher-Snedecor e Beta.

Voci correlate

• Distribuzione chi quadrato
• Distribuzione normale
• Distribuzione di Poisson
• Mistura di distribuzioni
• Valore atteso
• Varianza