Anello degli endomorfismi

In matematica, gli endomorfismi di un gruppo abeliano G formano un anello. Questa struttura algebrica viene detta anello degli endomorfismi (abbr: ER) di G, con la notazione (End(G), ∘, + ); dove End(G) è l'insieme degli omomorfismi di G in sè ed ha struttura di monoide con notazione (End(G), ∘ , id ). L'addizione di endomorfismi si effettua in modo punto-punto e la moltiplicazione tramite composizione di endomorfismi. Utilizzando queste operazioni, l'insieme degli endomorfismi di un gruppo abeliano forma un anello unitario, con l'endomorfismo zero $0_{\mathrm{End}(G)}$ come neutro additivo e la funzione identità $\mathrm{id}=1_{\mathrm{End}(G)}$ come neutro moltiplicativo.

Le funzioni coinvolte sono limitate a ciò che nel contesto viene definito omomorfismo, cioè dipende dalla categoria dell'oggetto in esame. L'anello degli endomorfismi di conseguenza indica diverse proprietà interne dell'oggetto. Spesso l'oggetto risultante è un'algebra su qualche anello R, questa può anche essere chiamata algebra dell'endomorfismo.

Un gruppo abeliano è isomorfo alla struttura algebrica di un modulo sull'anello degli interi ℤ, che è l'oggetto iniziale nella categoria degli anelli. In modo simile, se R è un anello commutativo, allora è isomorfa (stessi assiomi e derivazione) agli endomorfismi di un R-modulo e formano un'algebra su R. In particolare, se R è un campo, i suoi moduli M sono gli spazi vettorial e l'anello degli endmorfismi di ogni modulo è un'algebra su campo R.

Definizione

Sia Template:Nowrap un gruppo abeliano con operazione + e consideriamo l'insieme degli omomorfismi da G a G. Cioè

$\mathrm{End}(G)=\{\phi :G\to G|\phi (x\circ y)=\phi (x)\circ \phi (y),\mathrm{\forall }x,y\in G\}$

tale insieme con l'operazione binaria di composizione ha struttura algebrica di monoide, cioè un semigruppo con identità:

• operazione interna

$\begin{array}{cc}\varrho \circ \phi :G& ⟶G\mathrm{\forall }\varrho ,\phi \in \mathrm{End}(G)\\ g& ⟼\phi (\varrho (g))\\ \end{array}$

• associativa

$(\varrho \circ \phi )\circ \varsigma =\varrho \circ (\phi \circ \varsigma )\mathrm{\forall }\varrho ,\phi ,\varsigma \in \mathrm{End}(G)$

• endomorfismo neutro rispetto ∘ o identità

$\begin{array}{cc}\mathrm{id}={\mathrm{1}}_{\mathrm{End}(G)}:G& ⟶G\\ g& ⟼g\\ \end{array}$

che si denota con $(\mathrm{End}(G),\circ ,\mathrm{id})$. Un endomorfismo invertibile viene detto automorfismo. Quindi $\mathrm{Aut}(G)\subseteq \mathrm{End}(G).$ Essendo G abeliano, definiamo una seconda operazione detta addizione di due di questi omomorfismi puntualmente per produrre un altro omomorfismo di gruppo. Esplicitamente:

• operazione interna

$\begin{array}{cc}\varrho +\phi :G& ⟶G\mathrm{\forall }\varrho ,\phi \in \mathrm{End}(G)\\ g& ⟼(\varrho +\phi )(g)=\varrho (g)+\phi (g)\\ g& ⟼(g)(\varrho +\phi )=(g)\varrho +(g)\phi \\ \end{array}$

dove abbiamo utilizzato le due notazioni possibili. Anche se sembra più naturale, generalmente scrivere le nostre funzioni con la notazione destra nelle situazioni in cui l'operazione ha maggiore importanza.

• associativa

$(\varrho +\phi )+\varsigma =\varrho +(\phi +\varsigma )\mathrm{\forall }\varrho ,\phi ,\varsigma \in \mathrm{End}(G)$

• commutativa

$\varrho +\phi =\phi +\varrho \mathrm{\forall }\varrho ,\phi \in \mathrm{End}(G)$

• endomorfismo neutro rispetto +

$\begin{array}{cc}{\mathrm{0}}_{\mathrm{End}(G)}:G& ⟶G\\ g& ⟼e_G\\ \end{array}$

• endomorfismo opposto

${\mathrm{\exists }}^{\prime }{\phi }^{-1}:G⟶G{\phi }^{-1}+\phi =\phi +{\phi }^{-1}={\mathrm{0}}_{\mathrm{End}(G)}$

Sotto questa operazione End(G) ha struttura algebrica di gruppo abeliano. Insieme all'operazione di composizione, End(A) ha la struttura algebrica di anello con elemento neutro nella composizione o anello unitario di endomorfismi in G. Cioè gli assiomi:

• Gruppo abeliano ${(\mathrm{End}(G),+)}_A$
• Monoide $(\mathrm{End}(G),\circ ,\mathrm{id})$
• Distributività destra e sinistra

$\begin{array}{cc}\phi \circ (\varrho +\varsigma )& =\phi \circ \varrho +\phi \circ \varsigma \mathrm{\forall }\varrho ,\phi ,\varsigma \in \mathrm{End}(G)\\ (\varrho +\varsigma )\circ \phi & =\varrho \circ \phi +\varsigma \circ \phi \\ \end{array}$

Se l'insieme G non è un gruppo abeliano, allora la costruzione di cui sopra non è necessariamente additiva, cioè la somma di due omomorfismi non necessariamente è un omomorfismo. Questo insieme di endomorfismi è un esempio canonico di un quasi-anello che non è un anello.

Proprietà

• Gli anelli di endomorfismi hanno sempre l'elemento neutro per le due operazioni di addizione e moltiplicazione, rispettivamente sono la trasformazione zero e quella di identità, in notazione:

  $\begin{array}{cc}{0}_{\mathrm{End}(G)}& :x\mapsto 0_G\\ 1_{\mathrm{End}(G)}& :x\mapsto x\\ \end{array}$

  dove $0_G$ è l'elemento neutro del gruppo $(G,+)$.

• Sono associativi, ma di solito non-commutativi.
• Se un modulo è semplice, allora il suo ER viene detto anello di divisione (anche detto lemma di Schur).
• Un modulo è incomponibile se e solo se il suo ER non contiene elementi idempotenti non banali. Se il modulo è iniettivo, allora l'essere incomponibile equivale a dire che l'ER è un anello locale.
• Per un modulo semisemplice, l'ER è un anello regolare di von Neumann.
• L'ER di un modulo uniseriale destro non nullo ha uno o due ideali destri massimi. Se il modulo è Artiniano, Noetheriano, proiettivo o iniettivo, allora l'ER ha un unico ideale massimale, quindi è un anello locale.
• L'ER di un modulo uniforme Artiniano è un anello locale.
• L'ER di un modulo con lunghezza di composizione finita è un anello semiprimario.
• L'ER di un modulo continuo o discreto è un anello pulito.
• Se un R modulo è generato finitamente e proiettivo (cioè un progeneratore), allora l'ER del modulo ed R hanno tutti proprietà d'invarianza di Morita. Un risultato importante della teoria di Morita è che tutti gli anelli equivalenti a R nascono come anelli di endomorfismo dei progeneratori.

Esempi

• Nella categoria degli R-moduli, l'ER di un R-modulo M utilizzerà solo l'R-Omomorfismo di moduli, che sono tipicamente un sottoinsieme proprio degli omomorfismi del gruppo abeliano.Se M è un modulo proiettivo con generatori finiti, l'ER è centrale quando si considera l'equivalenza di Morita nella categoria dei moduli.

• Se $A$ è un gruppo abeliano, si ha un isomorfismo del tipo

  ${\mathrm{M}}_n(\mathrm{End}(A))\cong \mathrm{End}(A^n)$

  poiché qualsiasi matrice in ${\mathrm{M}}_n(\mathrm{End}(A))$ conserva una struttura di omomorfismo naturale di $A^n$ come segue:

  $\left(\begin{array}{ccc}{\phi }_{11}& \cdots & {\phi }_{1n}\\ ⋮& & ⋮\\ {\phi }_{n1}& \cdots & {\phi }_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\sum _{i=1}^n{\phi }_{1i}(a_i)\\ ⋮\\ \sum _{i=1}^n{\phi }_{ni}(a_i)\end{array}\right).$

È possibile utilizzare questo isomorfismo per costruire ER non commutativi. Per esempio:

$\mathrm{End}(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z})\cong {\mathrm{M}}_2(\mathbb{Z})$, essendovi $\mathrm{End}(\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$.

Inoltre, quando R è un campo ($R=K$), esiste un isomorfismo canonico $\mathrm{End}(K)\cong K$, tale che $\mathrm{End}(K^n)\cong {\mathrm{M}}_n(K)$, cioè, l'ER di un $K$-spazio vettoriale coincide con l'anello delle matrici n * n i cui elementi stanno in $K$. Più in generale, l'algebra dell'endomorfismo del modulo libero $M=R^n$ coincide in modo naturale con le matrici $n$*$n$ i cui elementi stanno nell'anello $R$.

• Come esempio particolare dell'ultimo punto, per qualsiasi anello R con unità, si considera Template:Tutto attaccato, dove gli elementi di R agiscono su R tramite moltiplicazione sinistra.

• In genere, l'ER può essere definito per gli oggetti di qualsiasi categoria pre-additiva.

Note

Postille

Bibliografia

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Collegamenti esterni

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