Commutatività

Template:F File:Proprietà Commutativa-Esempio.webm In matematica, un'operazione binaria $*$ definita su un insieme $S$ è commutativa se e solo se

$x*y=y*x,\mathrm{\forall }x,y\in S.$

Se questa proprietà non è valida per ogni coppia di elementi, l'operazione $*$ è quindi detta non commutativa.

In particolare, se è vera la proprietà

$x*y=-y*x,\mathrm{\forall }x,y\in S.$

l'operazione $*$ è detta anticommutativa.

Due elementi $x$ e $y$ commutano se $x*y=y*x$. Quindi l'operazione $*$ è commutativa se e solo se due elementi di $S$ commutano sempre.

Esempi

Operazioni commutative

Commutatività dell'addizione rappresentata mediante delle mele

Esempio di addizione di vettori. L'operazione è commutativa perché $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$

I più comuni esempi di operazioni binarie commutative sono l'addizione ($a+b$) e la moltiplicazione ($a\times b$), considerate sull'insieme di tutti i numeri reali, o solo sui numeri positivi, naturali o razionali, oppure estese ai numeri complessi; per esempio:

$4+5=5+4$ (poiché entrambe le espressioni sono uguali a 9);

$2\times 3=3\times 2$ (poiché entrambe le espressioni valgono 6).

Altre operazioni binarie commutative sono:

• minimo comune multiplo e massimo comun divisore applicati a coppie di interi positivi;
• minimo e massimo applicati a coppie di numeri reali o in generale a coppie di elementi di insiemi parzialmente ordinati;
• addizione di vettori;
• intersezione e unione di insiemi;
• congiunzione logica e disgiunzione inclusiva;
• composizioni di traslazioni nel piano, nello spazio tridimensionale o in un qualsiasi spazio vettoriale;
• composizioni di rotazioni intorno ad un dato punto nel piano.

Operazioni non commutative

Tra le operazioni binarie non commutative tra numeri vi sono la sottrazione ($a-b$), la divisione ($a/b$) e l'elevamento a potenza ($a^b$), definite su insiemi opportuni di numeri reali.

Anche la composizione di funzioni ($f(g(x))$) in molti contesti non è commutativa: ad esempio le funzioni reali $f(x)=x+3$ e $g(y)=y^2$ non commutano, in quanto

$g(f(x))=x^2+6x+9,$

$f(g(x))=x^2+3.$

Un'altra importante operazione non commutativa è la moltiplicazione fra matrici quadrate. Ad esempio:

$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right];$

$\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right].$

Il prodotto vettoriale, invece, rappresenta un esempio di operazione anticommutativa. Siano $𝐚,𝐛\in {ℝ}^3$. Si ha:

$𝐚\times 𝐛=-𝐛\times 𝐚.$

Strutture algebriche con operazioni commutative

Un gruppo è abeliano, o anche commutativo, se l'operazione che vi è definita è commutativa.

Un anello ha definite due operazioni, chiamate generalmente "somma" e "prodotto" in analogia con i numeri interi. L'operazione di "somma" è sempre commutativa, ma l'operazione "prodotto" no. Un anello è chiamato abeliano o commutativo se anche la moltiplicazione è commutativa.

Generalmente, le strutture algebriche abeliane sono molto più semplici delle analoghe non abeliane.

Tavola di composizione

Un'operazione è commutativa se e solo se la sua tavola di composizione è simmetrica. Per esempio le tavole di composizione delle operazioni minimo comune multiplo e massimo comun divisore per l'insieme dei numeri interi da 1 a 6 sono

$\left[\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 2& 2& 6& 4& 10& 6\\ 3& 6& 3& 12& 15& 6\\ 4& 4& 12& 4& 20& 12\\ 5& 10& 15& 20& 5& 30\\ 6& 6& 6& 12& 30& 6\end{array}\right]$

e

$\left[\begin{array}{cccccc}1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 1& 2& 1& 2\\ 1& 1& 3& 1& 1& 3\\ 1& 2& 1& 4& 1& 2\\ 1& 1& 1& 1& 5& 1\\ 1& 2& 3& 2& 1& 6\end{array}\right].$

Voci correlate

• Associatività
• Distributività
• Commutatore (matematica)

Collegamenti esterni

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