Modulo libero

In matematica, un modulo libero è un modulo particolarmente simile ad uno spazio vettoriale; più precisamente, se $A$ è un anello, un $A$-modulo è libero se ha una base, ovvero un insieme di elementi linearmente indipendenti che lo genera.

Nel linguaggio della teoria delle categorie, i moduli liberi sono gli oggetti liberi della categoria degli $A$-moduli.

Definizione e basi

Sia $A$ un anello e $M$ un modulo su $A$. $M$ è libero se esiste un insieme $E$ di elementi di $M$ tali che:

• $E$ genera $M$: ogni elemento di $M$ può essere scritto come combinazione lineare (finita) di elementi di $E$, ossia per ogni $m$ in $M$ esistono $a_1,\dots ,a_n\in A$ ed $e_1,\dots ,e_n\in E$ tali che $m=a_1{e}_1+\cdots +a_n{e}_n$;
• $E$ è linearmente indipendente: se esistono $a_1,\dots ,a_n\in A$ ed $e_1,\dots ,e_n\in E$ tali che $a_1{e}_1+\cdots +a_n{e}_n=0$, allora tutti gli $a_i$ sono uguali a 0.

Mentre ogni modulo possiede un insieme di generatori (ad esempio si può prendere $E=M$ stesso), l'indipendenza lineare è una proprietà molto più stringente: esistono ad esempio moduli in cui nessun insieme non vuoto è linearmente indipendente, come lo $\mathbb{Z}$-modulo ${\mathbb{Z}}_n$ delle classi di resto modulo $n$.

Se $A$ è un campo, gli $A$-moduli sono gli spazi vettoriali, e ognuno di essi ha una base: di conseguenza tutti gli $A$-moduli sono liberi. Vale anche il viceversa: se tutti gli $A$-moduli sono liberi, e $A$ è commutativo, allora $A$ è un campo; lasciando cadere l'ipotesi di commutatività, $A$ deve essere un corpo.

Nei moduli liberi, gli elementi della base si comportano come coordinate: segue infatti dall'indipendenza lineare che l'espressione di ogni elemento $m$ come combinazione degli elementi della base è unica. Di conseguenza, un modulo libero è la somma diretta di copie di $A$.

Un particolare modulo libero è l'anello $A$ stesso. Se $A$ è unitario, ha $\{1_A\}$ come base (è quindi anche ciclico).

Se $M$ è libero, non ha un'unica base; in generale, neppure la cardinalità della base è univocamente determinata. Questa quantità è invariante però per tutti gli anelli commutativi e per tutti gli anelli noetheriani; in particolare si ottiene che la dimensione degli spazi vettoriali è ben definita. Essa viene detta rango del modulo libero.

Proprietà universale

Si può caratterizzare "il" modulo libero generato da un insieme $S$ (unico a meno di isomorfismo unico) tramite una proprietà universale. Dato un insieme $S$, un $A$-modulo libero generato da $S$ è un modulo $M$ che contiene $S$ e tale che, per ogni $A$-modulo $N$ e per ogni morfismo di insiemi $f:S\to N$, rimanga determinato uno e un solo omomorfismo di moduli $\phi :M\to N$ tale che $\phi {|}_S=f$. L'omomorfismo $\phi$ viene definito sfruttando il fatto, equivalente al fatto che $M$ sia libero su $S$, che ogni elemento di $M$ si scrive in modo unico come combinazione lineare di elementi di $S$. Se $m=\sum _{s\in S}{a}_{s}s$, si pone $\phi (m)=\sum _{s\in S}{a}_{s}f(s).$

Costruzione

A partire da un insieme arbitrario $E$, è possibile costruire un $A$-modulo libero che ha $E$ come base: considerando tutte le combinazioni lineari formali $a_1{e}_1+\cdots +a_n{e}_n$, per qualsiasi sottoinsieme finito $\{e_1,\dots ,e_n\}$ e qualsiasi $a_1,\dots ,a_n\in A$; l'addizione e la moltiplicazione scalare vengono poi definiti termine a termine.

A partire da questo si può dimostrare che ogni modulo è quoziente di un modulo libero: dato infatti un insieme di generatori $E$ per $M$ (ad esempio $E=M$ stesso), si può formare il modulo libero su $E$, e considerare il sottomodulo $N$ generato dalle relazioni tra elementi di $M$ (ad esempio, se $e+f=0$, allora $e+f$ sarà contenuto in $N$). Il quoziente $L/N$ risulta isomorfo a $M$.

Proprietà

Somme e prodotti di moduli liberi sono ancora liberi; lo stesso vale per il prodotto tensoriale di due moduli liberi.

Tutti i moduli liberi sono proiettivi e piatti; unito al fatto che ogni modulo è quoziente di un modulo libero, questo dimostra che ogni modulo ha una risoluzione proiettiva. Al contrario, è raro che i moduli liberi siano iniettivi: ad esempio, se $A$ è commutativo e locale, $A$ stesso (considerato come $A$-modulo) può essere iniettivo solo se la sua dimensione è 0.

Bibliografia

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Collegamenti esterni

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