Corpo (matematica)

Template:F In matematica, un corpo è una particolare struttura algebrica, che può essere considerata come intermedia fra quella di anello e quella di campo.

Un corpo è infatti un insieme munito di due operazioni binarie, chiamate somma e prodotto e indicate rispettivamente con $+$ e $\ast$, che abbia tutte le proprietà usuali di un campo, tranne la proprietà commutativa per il prodotto. Equivalentemente, è un anello unitario in cui ogni elemento non nullo ha un inverso moltiplicativo.

Definizione

Un corpo è un insieme $K$, non vuoto e non ridotto ad un unico elemento, dotato di due operazioni binarie interne $+$ e $\ast$ che soddisfa i seguenti assiomi:

$(K,+)$ è un gruppo abeliano con elemento neutro $0$:

• $(a+b)+c=a+(b+c)$
• $a+b=b+a$
• $0+a=a+0=a$
• per ogni $a$ esiste un elemento $-a$ tale che $a+(-a)=0$

$(K^{\ast },\ast )$ è un gruppo con elemento neutro $1$:

• $a\ast (b\ast c)=(a\ast b)\ast c$
• $1\ast a=a\ast 1=a$
• per ogni $a\ne 0$ esiste un elemento $a^{-1}$ tale che $a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=1$

La moltiplicazione è distributiva rispetto alla somma:

• $a\ast (b+c)=a\ast b+a\ast c$
• $(a+b)\ast c=a\ast c+b\ast c$

(le relazioni devono valere per ogni $a,b$ e $c$ in $K$)

Nella definizione, $K^{\ast }=K\setminus \{0\}$ quindi necessariamente $1\ne 0$.

Un corpo in cui la moltiplicazione è commutativa è detto corpo commutativo, e più usualmente campo.

Esempi

Ogni campo è anche un corpo: sono quindi corpi i campi $\mathbb{Q},ℝ,ℂ$ dei numeri razionali, reali e complessi.

L'insieme $ℍ$ dei quaternioni è un corpo, ma non è un campo, infatti il prodotto tra quaternioni non è commutativo.

Proprietà

Equazioni

In un corpo sono risolubili in modo unico le equazioni

$a\ast x=b$, $x\ast a=b,$

per ogni $a,b\in K$ con $a\ne 0.$

Bibliografia

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Voci correlate

• Anello (algebra)
• Campo (matematica)

Collegamenti esterni

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