Modulo proiettivo

In matematica, un modulo proiettivo è un modulo con la proprietà di essere addendo diretto di un modulo libero: ovvero P è proiettivo se esiste un modulo libero F e un suo sottomodulo N tale che F è la somma diretta di P ed N.

Questo concetto è il duale di quello di modulo iniettivo; è stato introdotto da Henri Cartan e Samuel Eilenberg nel 1956.

Definizioni equivalenti

Sia A un anello e P un A-modulo sinistro (definizioni totalmente analoghe possono essere date per moduli destri). La definizione precedente (P è proiettivo se è addendo di un modulo libero) può essere generalizzata: P è proiettivo se è un addendo di ogni modulo che si proietta su di esso; in termini di successioni esatte: P è proiettivo se e solo se ogni successione esatta corta

$0⟶N⟶M⟶P⟶0$

si spezza, ovvero se $M=N\oplus P$.

È possibile caratterizzare i moduli proiettivi anche attraverso una proprietà di sollevamento: P è un modulo proiettivo se e solo se per ogni omomorfismo suriettivo di A-moduli sinistri f : N → M e per ogni omomorfismo g : P → M esiste un omomorfismo di moduli h : P → N tale che hf = g, cioè tale da far commutare il seguente diagramma:

File:Projective module.png

Altre definizioni equivalenti sfruttano maggiormente la teoria delle categorie: P è proiettivo se e solo se il funtore $Ho{m}_A(P,-)$ è esatto; usando il funtore Ext, P è proiettivo se $Ex{t}_A^1(P,M)=0$ per ogni A-modulo M.

Esempi e proprietà

Tutti i moduli liberi sono proiettivi; il viceversa non è in generale vero, sebbene valga per i domini ad ideali principali, per gli anelli locali e per gli anelli di polinomi in un numero finito di variabili su un dominio a ideali principali; nel caso in cui l'anello sia noetheriano e il suo spettro sia connesso, tutti i moduli proiettivi che non sono finitamente generati sono liberi. Esempi di moduli proiettivi ma non liberi sono gli ideali non principali di un dominio di Dedekind, o gli ideali nella forma eA, dove e è un idempotente di A: ad esempio, se $A=A_1\times A_2$, allora $A_1\times 0$ e $0\times A_2$ sono A-moduli proiettivi (in quanto $A=A_1\oplus A_2$) ma non liberi.

Su un campo o su un corpo, tutti i moduli sono proiettivi; in generale, se tutti gli A-moduli sono proiettivi, l'anello è detto semisemplice. Questo avviene, inoltre, se e solo se tutti gli A-moduli sono iniettivi, e se e solo se la sua dimensione globale è 0.

Una somma diretta $P=⨁P_i$ di moduli è proiettiva se e solo se lo è ogni addendo; il prodotto tensoriale di due moduli proiettivi è ancora proiettivo.

Un ideale di A è un A-modulo proiettivo se e solo se è invertibile.

Tutti i moduli proiettivi sono piatti; anche in questo caso, il viceversa non è vero. Tuttavia, tutti i moduli piatti finitamente presentati sono proiettivi.

Risoluzioni proiettive

Una risoluzione proiettiva di un modulo M è una successione esatta

$\cdots ⟶P_n⟶\cdots ⟶P_1⟶P_0⟶M⟶0$

in cui ogni P_i è proiettivo; poiché ogni modulo è il quoziente di un modulo libero, ogni modulo ha una risoluzione proiettiva. Se P_k è il modulo nullo per ogni k > n, la risoluzione è detta finita; il minimo n per cui esiste una risoluzione finita

$0⟶P_n⟶\cdots ⟶P_1⟶P_0⟶M⟶0$

è detto dimensione proiettiva di M; se M non ha alcuna risoluzione finita, la sua dimensione proiettiva è infinita. La dimensione proiettiva misura in un certo senso quanto un modulo "è lontano dall'essere proiettivo": infatti, la dimensione proiettiva di un modulo è 0 se e solo se è proiettivo (corrispondente alla risoluzione finita $0⟶M⟶M⟶0$).

L'estremo superiore della dimensioni proiettive degli A-moduli è detta dimensione globale (o omologica) di A.

Bibliografia

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