Teorema di Stokes

In matematica, in particolare in geometria differenziale, il teorema di Stokes è un enunciato riguardante l'integrazione delle forme differenziali che generalizza diversi teoremi di calcolo vettoriale, quali il teorema della divergenza o il teorema del rotore. Prende il nome da Sir George Gabriel Stokes (1819-1903), nonostante la prima formulazione del teorema sia stata attribuita a William Thomson (Lord Kelvin), che la inviò in una lettera a Stokes nel luglio del 1850.

Introduzione

Il teorema fondamentale del calcolo integrale stabilisce che se $f$ è una funzione reale che ammette primitiva su un intervallo $[a,b]$, l'integrale di $f$ su tale intervallo può essere calcolato tramite una sua primitiva:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$

Poiché $\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x}=f$, si può interpretare $\mathrm{d}F(x)=f(x)\mathrm{d}x$ nel contesto più generale delle forme differenziali come il differenziale esterno della 0-forma $F(x)$.

Il teorema di Stokes generalizza il teorema fondamentale del calcolo considerando una n-forma $\omega$ e il suo differenziale esterno $d\omega$. L'intervallo $[a,b]$ è una varietà differenziabile di dimensione uno, avente come frontiera l'insieme $\{a,b\}$: l'integrazione di $f$ su questo intervallo può quindi essere estesa all'integrazione su una varietà $M$ di ordine maggiore, e per far questo è necessario che $M$ sia orientabile e la forma differenziale sia a supporto compatto. Il bordo di $M$, indicato con $\partial M$, è ancora una varietà ed eredita l'orientazione di $M$.

Il teorema

Sia $\mathrm{\Omega }$ una varietà differenziabile orientata di dimensione n e sia $\alpha$ una n-forma differenziale a supporto compatto su $\mathrm{\Omega }$.

Si supponga inizialmente che $\alpha$ sia a supporto compatto nel dominio di una carta orientata $\{U,\varphi \}$. L'integrale di $\alpha$ su $\mathrm{\Omega }$ è definito come:

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\alpha =\underset{\varphi (U)}{\int }{\left({\varphi }^{-1}\right)}^{*}\alpha$

ovvero attraverso il pull-back di $\alpha$ in ${ℝ}^n$. Più in generale, l'integrale di $\alpha$ su $\mathrm{\Omega }$ è definito considerando una partizione dell'unità $\{{\psi }_i\}$ associata al ricoprimento localmente finito $\{U_i,{\varphi }_i\}$ di carte (orientate in modo coerente):

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\alpha \equiv \sum _i\underset{U_i}{\int }{\psi }_i\alpha$

dove ogni termine nella somma è valutato attraverso il pull-back in ${ℝ}^n$ precedentemente definito. Tale definizione non dipende dalla scelta della partizione dell'unità e delle carte.

Enunciato

Il teorema di Stokes afferma che se $\omega$ è una (n-1)-forma a supporto compatto su $\mathrm{\Omega }$ e $\partial \mathrm{\Omega }$ è la frontiera di $\mathrm{\Omega }$, allora:

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\mathrm{d}\omega =\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }\omega (={\oint }_{\partial \mathrm{\Omega }}\omega )$

dove $\mathrm{d}\omega$ è la derivata esterna di $\omega$, definita per mezzo della sola struttura di varietà. Ovvero, l'integrale di ogni forma differenziale a supporto compatto $\omega$ sulla frontiera di una varietà orientata $\mathrm{\Omega }$ è pari all'integrale della sua derivata esterna valutato su tutta $\mathrm{\Omega }$.

Casi particolari

Teorema del gradiente

Template:Vedi anche Il teorema del gradiente afferma che:

$\underset{\partial \gamma }{\int }\varphi =\underset{\gamma }{\int }\mathrm{d}\varphi$

per ogni 0-forma $\varphi$ definita su una qualche curva differenziabile $\gamma \subset {ℝ}^n$. Si tratta della versione del teorema di Stokes con 1-forme differenziali definite su una varietà di dimensione 1. L'enunciato opposto afferma che data una forma differenziale $\omega$ definita su un dominio contraibile, se l'integrale di $\omega$ su ogni varietà chiusa sia nullo allora esiste una forma $\psi$ tale che $\omega =d\psi$. Su un dominio contraibile ogni forma chiusa è esatta, e tale risultato è riassunto dal lemma di Poincaré.

Teorema del rotore

Template:Vedi anche Il teorema del rotore afferma che il flusso del rotore di determinati campi vettoriali attraverso superfici regolari dotate di bordo è uguale alla circuitazione del campo lungo la frontiera della superficie:

$\underset{S}{\int }(\mathrm{\nabla }\times 𝐅)\cdot d𝐬={\oint }_{\partial S}𝐅\cdot d𝐫$.

dove $𝐅:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^3$ un campo vettoriale di classe $C^1$, con $\mathrm{\Omega }$ un dominio regolare contenuto in ${ℝ}^3$, e $S:D\subseteq {ℝ}^2\to {ℝ}^3$ è una superficie regolare a tratti dotata di frontiera $\partial S$.

Il campo vettoriale $𝐅$ può essere considerato come una 1-forma, ed in tal caso il rotore è la derivata esterna.

Teorema della divergenza

Una regione $V$ delimitata da $\partial V$ (S in figura), con $𝐧$ il versore normale uscente.

Si consideri un insieme $V\subset {ℝ}^n$ compatto delimitato da una superficie liscia $\partial V$. Se $𝐅$ è un campo vettoriale differenziabile con continuità (di classe $C^1$) definito in un intorno di $V$, si ha:

$\underset{V}{\int }\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅dv={\oint }_{\partial V}𝐅\cdot d𝐬$

dove $d𝐬=𝐧dS$ è l'elemento di superficie ($𝐧$ è il versore uscente normale). In altri termini, il flusso di $𝐅$ attraverso la superficie chiusa $\partial V$ coincide con l'integrale della divergenza di $𝐅$ svolto nel volume $V$ di cui la superficie è frontiera. Si può utilizzare il teorema di Stokes per uguagliare l'integrale su un volume n-dimensionale della divergenza di un campo vettoriale $𝐅$ definito sulla regione $U\subset {ℝ}^n$ all'integrale di $𝐅$ sulla superficie (di dimensione n-1) che costituisce il bordo di $U$:

$\underset{U}{\int }\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅d{V}_n={\oint }_{\partial U}𝐅\cdot 𝐧d{S}_{n-1}$

In una notazione più concisa si può scrivere:

$\underset{V}{\int }\frac{\partial F_i}{\partial x_i}dV=\underset{S}{\int }{F}_i{n}_{i}dS$

sicché rimpiazzando $𝐅$ con un campo tensoriale $T$ di ordine n si ottiene la generalizzazione:

$\underset{V}{\int }\frac{\partial T_{i_1{i}_2\cdots i_q\cdots i_n}}{\partial x_{i_q}}dV=\underset{S}{\int }{T}_{i_1{i}_2\cdots i_q\cdots i_n}{n}_{i_q}dS$

dove si verifica la contrazione degli indici in entrambi i membri della relazione, per almeno un indice. Si può estendere la precedente relazione, che vale in tre dimensioni, a varietà di dimensione arbitraria.

Bibliografia

• Template:En Morse, P. M. and Feshbach, H. "Stokes' Theorem." In Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, p. 43, 1953.
• Template:En Stewart, James. Calculus: Concepts and Contexts. 2nd ed. Pacific Grove, CA: Brooks/Cole, 2001.
• Template:En Stewart, James. Calculus: Early Transcendental Functions. 5th ed. Brooks/Cole, 2003.
• Template:Cita libro
• Template:De Joos, Georg. Theoretische Physik. 13th ed. Akademische Verlagsgesellschaft Wiesbaden 1980. ISBN 3-400-00013-2

Voci correlate

• Derivata esterna
• Forma differenziale
• Teorema del gradiente
• Teorema del rotore
• Teorema della divergenza
• Teorema fondamentale del calcolo integrale

Collegamenti esterni

• Template:SpringerEOM