Classe C di una funzione

In analisi matematica, la classe $C$ di una funzione di variabile reale indica l'appartenenza della stessa all'insieme delle funzioni derivabili con continuità per un certo numero di volte. Si dice che una funzione definita su un insieme $A$ è di classe $C^k$ se in $A$ esistono tutte le derivate fino al $k$-esimo ordine, e la $k$-esima è continua (quando la funzione è continua si dice che è di classe $C^0$). Si tratta, sostanzialmente, dello spazio delle funzioni differenziabili. Il sottoinsieme delle funzioni le cui prime $k$ derivate sono limitate è uno spazio vettoriale.

La derivabilità rispetto ad una variabile garantisce la continuità della funzione rispetto a tale variabile, sicché lo spazio $C^1(ℝ)$ delle funzioni differenziabili con continuità sul campo reale è contenuto nello spazio $C^0(ℝ)$ delle funzioni continue. In generale, $C^k$ è contenuto in $C^{k-1}$ per ogni $k$.

Di particolare importanza è l'insieme $C^{\mathrm{\infty }}$ delle funzioni lisce, tra le quali vi sono i polinomi, e l'insieme $C^{\omega }$ delle funzioni analitiche, definite come le funzioni lisce che sono uguali alla loro espansione in serie di Taylor attorno ad ogni punto del dominio.

Definizione

Sia $A$ un sottoinsieme aperto di ${ℝ}^m$ e $k\in \mathbb{N}$. Una funzione di variabile reale $f:A\to {ℝ}^n$si dice di classe $C^k$ se in ogni punto di $A$ esistono tutte le derivate parziali di $f$ fino al $k$-esimo ordine, e tali derivate parziali sono funzioni continue. L'insieme delle funzioni di classe $C^k$ da $A$ in ${ℝ}^n$ si indica generalmente con $C^k(A,{ℝ}^n)$; inoltre, è consuetudine porre anche $C^k(A):=C^k(A,ℝ)$. Se $k>0$, si ha perciò che $f\in C^k(A,{ℝ}^n)$ se e solo se

$\frac{\partial f_i}{\partial x_r}\in C^{k-1}(A)\mathrm{\forall }r=1,\dots ,m,\mathrm{\forall }i=1,\dots ,n,$

dove $f_i$ indica la proiezione di $f$ sulla $i$-esima componente: formalmente, se per ogni $i=1,\dots ,n$ poniamo

$\begin{array}{ccccc}{\pi }_i& :& {ℝ}^n& \to & ℝ\\ & & a:=(a_1,\dots ,a_n)& \mapsto & a_i\end{array}$,

si ha $f_i:={\pi }_i\circ f$.

Inoltre, per la convenzione secondo cui l'unica derivata parziale di $f$ di ordine $0$ è $f$ stessa, segue direttamente dalla definizione che $f\in C^0(A,{ℝ}^n)$ se e solo se $f$ è continua. Chiaramente, per ogni $k\in \mathbb{N}$ risulta $C^{k+1}(A,{ℝ}^n)\subseteq C^k(A,{ℝ}^n)$.

Una funzione $f:A\to {ℝ}^n$ si dice poi di classe $C^{\mathrm{\infty }}$(o liscia) se in ogni punto di $A$ esistono tutte le derivate parziali di $f$ di qualsiasi ordine, e tali derivate parziali sono funzioni continue; in altre parole, $f$ è liscia se e solo se $f\in C^k(A,{ℝ}^n)$ per ogni $k\in \mathbb{N}$. L'insieme delle funzioni lisce da $A$ in ${ℝ}^n$ si indica generalmente con $C^{\mathrm{\infty }}(A,{ℝ}^n)$. Evidentemente si ha $C^{\mathrm{\infty }}(A,{ℝ}^n)=\bigcap _{k\in \mathbb{N}}{C}^k(A,{ℝ}^n)$.

Una funzione liscia $f\in C^{\mathrm{\infty }}(A,{ℝ}^n)$ si dice di classe $C^{\omega }$ (o analitica) se per ogni $x_0\in A$ esiste un intorno $U(x_0)\subseteq A$ di $x_0$ in $A$ tale che $f(x)=T_{f,x_0}(x)$ per ogni $x\in U(x_0)$, ove $T_{f,x_0}$ denota lo sviluppo di Taylor di $f$ centrato in $x_0$. L'insieme delle funzioni analitiche da $A$ in ${ℝ}^n$ si indica con $C^{\omega }(A,{ℝ}^n)$.

È possibile fornire esempi di funzioni lisce ma non analitiche.

L'insieme di definizione

Particolare attenzione bisogna rivolgere all'insieme $A$ su cui è definita la funzione. Nella definizione di derivata il punto in cui si calcola il limite viene preso interno ad $A$ (oppure $A$ viene considerato aperto, cosicché tutti i suoi punti siano interni), poiché nei punti di frontiera l'operazione di limite si può applicare solo in modo parziale (solo da alcune "direzioni" e non da altre). Per questo motivo, se $A$ non è un aperto, l'affermazione $f\in C^k(A,{ℝ}^n)$ deve essere ulteriormente specificata. Non c'è un'unica versione accettata di tale generalizzazione: solitamente si assicura l'esistenza della derivata anche nei punti del bordo e si richiede che tale derivata si riallacci in modo sufficientemente "regolare" a quella nei punti interni. Ad esempio, ci si può "appoggiare" alla definizione precedente, data nel caso in cui il dominio sia un aperto, nel modo seguente: diciamo che $f$ è di classe $C^k$, ovvero $f\in C^k(A,{ℝ}^n)$, se e solo se esiste un aperto $\mathrm{\Omega }$ contenente $A$ e una funzione $\tilde{f}\in C^k(\mathrm{\Omega },{ℝ}^n)$ che estende $f$, cioè tale che ${\tilde{f}}_{|A}=f$.

Lo spazio delle funzioni C^k

Dal punto di vista dell'analisi funzionale, se $\mathrm{\Omega }$ è un insieme compatto in ${ℝ}^d$ ($d$ naturale), lo spazio $C^k(\mathrm{\Omega })$ delle funzioni definite in $\mathrm{\Omega }$ a valori reali (o complessi) di classe $k$ è uno spazio vettoriale; con la norma (norma lagrangiana di ordine $k$)

$\Vert f{\Vert }_{C^k(\mathrm{\Omega })}=\{\begin{array}{cc}\underset{\mathrm{\Omega }}{\max }|f|& \text{ se }k=0\\ \Vert f{\Vert }_{C^0(\mathrm{\Omega })}+\sum _{|\alpha |=1}^k\Vert {\mathrm{D}}^{\alpha }f{\Vert }_{C^0(\mathrm{\Omega })}& \text{ se }k>0\end{array}$

risulta essere uno spazio di Banach; ${\mathrm{D}}^{\alpha }f$ è la derivata $\alpha$-esima di $f$ espressa nella notazione multi-indice.

Esempi

• L'esponenziale $\text{exp}:ℝ\to ℝ,\text{exp}(x):=e^x$ è una funzione di classe $C^{\mathrm{\infty }}$, in quanto ha ogni derivata uguale a sé stessa: $D^k(\text{exp})=\text{exp}$ per ogni $k\in \mathbb{N}$; più precisamente, $\text{exp}$ è una funzione analitica.
• L'identità ${\text{id}}_{ℝ}$ è di classe $C^{\mathrm{\infty }}$, in quanto ha derivata prima costante uguale a $1$ e ogni derivata successiva costante uguale a $0$. Più precisamente, è una funzione analitica, come ogni altra funzione polinomiale da $ℝ$ in sé.
• La tangente è una funzione di classe $C^{\mathrm{\infty }}(ℝ\setminus (\pi /2+\pi \mathbb{Z}))$, cioè in tutto il suo insieme di definizione.
• La funzione $|x|$ è di classe $C^0$; essa appartiene a $C^0(ℝ)\cap C^{\mathrm{\infty }}(ℝ\setminus \left\{0\right\})$, in quanto in $0$ non è derivabile.
• La funzione $|x{|}^p$ è di classe $C^k$ se $k<p\le k+1$.

Bibliografia

• Cartan, H. Cours de calcul différentiel, nouv. éd., refondue et corr. Paris: Hermann, 1977.
• S. Salsa, Equazioni a derivate parziali, Springer-Verlag Italia, Milano, 2004. ISBN 88-470-0259-1

Voci correlate

• Derivata
• Derivata parziale
• Funzione analitica
• Funzione continua
• Funzione differenziabile
• Funzione liscia

Collegamenti esterni

• Template:En Rowland, Todd. C^k Function. From MathWorld
• Template:En Rowland, Todd. C^infinity Function. From MathWorld