Primitiva (matematica)

Tre primitive della funzione $f(x)=x^2-x-1$.

In analisi matematica, si dice primitiva o antiderivata di una funzione $f$ una funzione derivabile $F$ la cui derivata è uguale alla funzione di partenza. Denotando con l'apice la derivata, $F^{\prime }(x)=f(x)$. L'insieme di tutte le primitive di una funzione $f$ è detto integrale indefinito di $f$. Il calcolo della primitiva è strettamente legato alla risoluzione degli integrali definiti dal teorema fondamentale del calcolo integrale: infatti, l'integrale di una funzione, se esiste, è uguale alla differenza dei valori della primitiva sugli estremi di integrazione.

Definizione

Data una funzione $f:I\to ℝ$, definita su un intervallo $I\subset ℝ$, si definisce primitiva una funzione $F:I\to ℝ$ tale che

$F^{\prime }(x)=f(x)$

per ogni $x\in I$.

Se $F$ è una primitiva di $f$, tutte e sole le primitive di $f$ sono nella forma $F(x)+C$, dove $C$ è una costante arbitraria reale.

L'integrale indefinito di $f$ è l'insieme di tutte le sue primitive. Esso si denota con il simbolo

$\int f(x)dx$

e se $F$ è una particolare primitiva di $f$, allora

$\int f(x)dx=F(x)+C$

al variare di $C\in ℝ$.

Principali primitive

Template:Vedi categoria Un metodo spesso utilizzato per calcolare le primitive di una funzione razionale è la decomposizione in fratti semplici. Per gli altri casi, alcune primitive molto frequenti sono esposte nel seguito:

$\int x^a\mathrm{d}x=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C$	con $a\ne -1$
$\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln |x|+C$
$\int {\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x={\mathrm{e}}^x+C$
$\int a^x\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C$	con $a>0$,$a\ne 1$
$\int \sin x\mathrm{d}x=-\cos x+C$
$\int \cos x\mathrm{d}x=\sin x+C$
$\int \tan x\mathrm{d}x=-\ln |\cos x|+C$
$\int \cot x\mathrm{d}x=\ln |\sin x|+C$
$\int \sinh x\mathrm{d}x=\cosh x+C$
$\int \cosh x\mathrm{d}x=\sinh x+C$
$\int \tanh x\mathrm{d}x=\ln (\cosh x)+C$
$\int \coth x\mathrm{d}x=\ln |(\sinh x)|+C$
$\int \frac{1}{(\cos x{)}^2}\mathrm{d}x=\tan x+C$
$\int \frac{1}{(\sin x{)}^2}\mathrm{d}x=-\cot x+C$
$\int \frac{1}{(\cosh x{)}^2}\mathrm{d}x=\tanh x+C$
$\int \frac{1}{(\sinh x{)}^2}\mathrm{d}x=-\coth x+C$
$\int \frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x=\arctan x+C$
$\int \frac{1}{1-x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\ln \frac{x+1}{x-1}+C$	con $|x|>1$
$\int \frac{1}{\sqrt[]{1-x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin x+C$
$\int \frac{1}{\sqrt[]{1+x^2}}\mathrm{d}x=\ln |x+\sqrt[]{1+x^2}|+C$
$\int \frac{1}{\sqrt[]{x^2-1}}\mathrm{d}x=\ln |x+\sqrt[]{x^2-1}|+C$	con $|x|>1$

Bibliografia

• Template:Cita libro
• Template:En Introduction to Classical Real Analysis, by Karl R. Stromberg; Wadsworth, 1981 (see also)
• Template:EnHistorical Essay On Continuity Of Derivatives, by Dave L. Renfro;

Voci correlate

• Derivata
• Integrale
• Teorema fondamentale del calcolo integrale

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni
• Template:EnWolfram Integrator — Free online symbolic integration with Mathematica
• Template:EnAntiderivative calculator with step-by-step solutions Template:Webarchive — supports all common methods and rules of integration
• Template:EnMathematical Assistant on Web — symbolic computations online. Allows to integrate in small steps (with hints for next step (integration by parts, substitution, partial fractions, application of formulas and others), powered by Maxima