Funzione beta di Eulero

Grafico delle curve di livello della funzione beta

La funzione beta di Eulero, detta anche integrale di Eulero del primo tipo, è data dall'integrale definito:

$\beta (x,y)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}dt,$

dove sia $x$ che $y$ hanno parte reale positiva e non nulla (in caso contrario, l'integrale divergerebbe). Questa funzione fu studiata per primo da Eulero e da Legendre, ma fu Jacques Binet a battezzarla con il suo nome attuale.

Caratteristiche

È una funzione simmetrica, cioè il suo valore non cambia scambiando $x$ e $y$:

$\beta (x,y)=\beta (y,x).$

Inoltre valgono anche le due seguenti identità:

$\beta (1,1)=1;$

$\beta (\frac{1}{2},\frac{1}{2})=\pi .$

La funzione beta si può scrivere in molti modi, di cui i più comuni sono i seguenti:

$\beta (x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)};$

$\beta (x,y)=2\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\sin }^{2x-1}\theta {\cos }^{2y-1}\theta d\theta ,\mathrm{\Re }(x)>0,\mathrm{\Re }(y)>0;$

$\beta (x,y)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{x-1}}{(1+t{)}^{x+y}}dt,\mathrm{\Re }(x)>0,\mathrm{\Re }(y)>0;$

$\beta (x,y)=\frac{1}{y}\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(y{)}_{n+1}}{n!(x+n)};$

dove $\mathrm{\Gamma }(x)$ è la funzione Gamma e $(x{)}_n$ è il fattoriale discendente, cioè $x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)$. In particolare, combinando la prima e la seconda forma si dimostra che $\mathrm{\Gamma }(1/2)=\sqrt{\pi }$.

Così come la funzione gamma descrive i fattoriali dei numeri interi, cioè se l'argomento è un numero intero $n$ il suo risultato è il fattoriale di $n-1$, la funzione beta (con un piccolo aggiustamento degli indici) descrive i coefficienti binomiali; più precisamente è

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{1}{(n+1)\mathrm{B}(n-k+1,k+1)}.$

La funzione beta è stato il primo modello di matrice S nella teoria delle stringhe, congetturato per la prima volta da Gabriele Veneziano.

Relazioni fra la funzione gamma e la funzione beta

Per ricavare la forma integrale della funzione beta, si può scrivere il prodotto di due fattoriali come:

$\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-u}{u}^{x-1}\mathrm{d}u\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-v}{v}^{y-1}\mathrm{d}v.$

Ora poniamo $u\equiv a^2$, $v\equiv b^2$ in modo che:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)& =4\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-a^2}{a}^{2x-1}\mathrm{d}a\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-b^2}{b}^{2y-1}\mathrm{d}b\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-(a^2+b^2)}|a{|}^{2x-1}|b{|}^{2y-1}\mathrm{d}a\mathrm{d}b.\end{array}$

Trasformiamo in coordinate polari con $a=r\cos \theta$, $b=r\sin \theta$:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)& =\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-r^2}|r\cos \theta {|}^{2x-1}|r\sin \theta {|}^{2y-1}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta =\\ & =\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-r^2}{r}^{2x+2y-2}r\mathrm{d}r\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|{\cos }^{2x-1}\theta {\sin }^{2y-1}\theta |\mathrm{d}\theta =\\ & =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-r^2}{r}^{2(x+y-1)}\mathrm{d}(r^2)\cdot 4\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\cos }^{2x-1}\theta {\sin }^{2y-1}\theta \mathrm{d}\theta =\\ & =2\mathrm{\Gamma }(x+y)\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\cos }^{2x-1}\theta {\sin }^{2y-1}\theta \mathrm{d}\theta =\\ & =\mathrm{\Gamma }(x+y)\beta (x,y).\end{array}$

e quindi riscriviamo gli argomenti nella forma solita della funzione beta:

$\beta (x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)}.$

Derivata

La derivata della funzione beta può essere scritta sfruttando, di nuovo, la funzione gamma:

$\frac{\partial }{\partial x}\beta (x,y)=\beta (x,y)(\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)}{\mathrm{\Gamma }(x)}-\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x+y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)})=\beta (x,y)(\psi (x)-\psi (x+y)),$

dove $\psi (x)$ è la funzione digamma.

Integrali

L'integrale di Nörlund-Rice è un integrale di circuitazione che coinvolge la funzione beta.

Funzione beta incompleta

La funzione beta incompleta è una generalizzazione della funzione beta che sostituisce l'integrale definito della funzione beta con un integrale indefinito. È una generalizzazione del tutto analoga a quella della funzione gamma (la funzione gamma incompleta).

La funzione beta incompleta è definita come:

$\beta (x;a,b)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{a-1}(1-t{)}^{b-1}\mathrm{d}t.$

Per $x=1$, la funzione beta incompleta ridiventa la normale funzione beta.

La funzione beta incompleta regolarizzata (o più brevemente funzione beta regolarizzata) è definita in termini di entrambe le due:

$I_x(a,b)=\frac{\beta (x;a,b)}{\beta (a,b)}.$

Calcolando l'integrale per valori interi di $a$ e $b$, si ottiene:

$I_x(a,b)=\sum _{j=a}^{a+b-1}\frac{(a+b-1)!}{j!(a+b-1-j)!}{x}^j(1-x{)}^{a+b-1-j}.$

Valgono le seguenti identità:

$I_0(a,b)=0;$

$I_1(a,b)=1;$

$I_x(a,b)=1-I_{1-x}(b,a).$

Bibliografia

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• Template:Cita libro [1] (funzione beta) p. 263 (funzione beta incompleta)

Voci correlate

• Eulero
• Integrale
• Funzione gamma
• Tavola degli integrali definiti
• Teoria delle stringhe
• Variabile casuale beta
• Variabile casuale binomiale
• Distribuzione continua uniforme

Collegamenti esterni

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