Tavola degli integrali definiti

Questa pagina contiene una tavola degli integrali definiti. Per altri integrali vedi le tavole di integrali.

Esistono molte funzioni integrabili la cui primitiva non si può esprimere in forma chiusa, cioè con un'espressione costruita con funzioni note. Tuttavia alcuni integrali definiti di queste funzioni possono essere espressi in forma chiusa. La prima sezione di questa pagina ne presenta alcuni esempi di uso comune.

Alcuni integrali definiti con funzione integranda dipendente da parametri individuano funzioni di tali parametri che presentano elevato interesse e che quindi conviene considerare come funzioni speciali caratterizzate da un simbolo e un nome: le definizioni di alcune di queste funzioni costituiscono la seconda sezione di questa pagina.

Integrali generalizzati più comuni

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\sqrt{x}{e}^{-x}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\sqrt{\pi }$

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi }{2}}$ (integrale di Gauss) o $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{d}x=\sqrt{2\pi }$ (integrale di Eulero)

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\sqrt{\pi }$

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x}{e^x-1}\mathrm{d}x=\frac{{\pi }^2}{6}$

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^3}{e^x-1}\mathrm{d}x=\frac{{\pi }^4}{15}$

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}\mathrm{d}x=\pi$

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{z-1}{e}^{-x}\mathrm{d}x=\mathrm{\Gamma }(z)$ ($\mathrm{\Gamma }$ denota la funzione Gamma)

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{1-t^3}}\mathrm{d}t=\frac{1}{3}\mathrm{B}(\frac{1}{3},\frac{1}{2})$ (integrale ellittico), $\mathrm{B}(p,q)$ denota la funzione Beta

$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\ln (\cos (x))\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\ln (\sin (x))\mathrm{d}x=-\frac{\pi }{2}\ln (2)$

 Template:Approfondimento

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\cos (x^2)\mathrm{d}x=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\sin (x^2)\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi }{2}}$ (integrali di Fresnel)

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\ln (1-2\alpha \cos x+{\alpha }^2)\mathrm{d}x=2\pi \ln |\alpha |$

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}x{e}^{-x^3}\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{2}{3}\right)$

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^z{e}^{-\beta x^{\alpha }}\mathrm{d}x={\left(\alpha {\beta }^{\frac{z+1}{\alpha }}\right)}^{-1}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{z+1}{\alpha }\right)$

Funzioni speciali da integrali trigonometrici e iperbolici

Integral seno e variante:

$\mathrm{S}\mathrm{i}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t$

$\mathrm{s}\mathrm{i}(x)=-\underset{x}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t=\mathrm{S}\mathrm{i}(x)-\frac{1}{2}\pi$

Integral coseno e varianti:

$\mathrm{C}\mathrm{i}(x)=\gamma +\ln x+\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\cos t-1}{t}\mathrm{d}t$

$\mathrm{C}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1-\cos t}{t}\mathrm{d}t$

$\mathrm{c}\mathrm{i}(x)=-\underset{x}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos t}{t}\mathrm{d}t$

Integral seno iperbolico:

$\mathrm{S}\mathrm{h}\mathrm{i}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sinh t}{t}\mathrm{d}t=\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{i}(x)$

Integral coseno iperbolico:

$\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{i}(x)=\gamma +\ln x+\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\cosh t-1}{t}\mathrm{d}t=\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i}(x)$

Bibliografia

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Voci correlate

• Costante di Eulero - Mascheroni ($\gamma$)
• Tavola degli integrali indefiniti di funzioni trigonometriche

Collegamenti esterni

• Function Calculator (WIMS)