Distribuzione continua uniforme

Template:F Template:Variabile casuale In teoria delle probabilità la distribuzione continua uniforme è una distribuzione di probabilità continua che è uniforme su un insieme, ovvero che attribuisce la stessa probabilità a tutti i punti appartenenti ad un dato intervallo [a,b] contenuto nell'insieme.

Definizione

La distribuzione continua uniforme $𝒰(S)$ su un insieme misurabile S, di misura finita non nulla, è una distribuzione di probabilità che attribuisce a tutti i sottoinsiemi di S con la stessa misura la stessa probabilità di verificarsi.

La sua densità di probabilità è un multiplo della funzione indicatrice dell'insieme S,

$f(x)=\frac{1}{\mu (S)}{1}_S=\{\begin{array}{cc}1/\mu (S)& x\in S\\ 0& x\in ̸S\end{array}$

dove $\mu (S)$ è la misura dell'insieme S.

In particolare ogni sottoinsieme misurabile A di S ha una probabilità di verificarsi proporzionale alla propria misura:

$P(A)=\frac{\mu (A)}{\mu (S)}$.

Su un intervallo

La distribuzione uniforme continua viene solitamente definita su un intervallo $S=[a,b]\subset ℝ$; in questo caso viene indicata $𝒰(a,b)=𝒰([a,b])$.

La sua densità di probabilità è

$f(x)=\frac{1}{b-a}$ su $[a,b]$.

Come intervallo $[a,b]$, inoltre, viene spesso preso l'intervallo unitario $I=[0,1]$, che può essere sempre ricondotto al caso precedente tramite una trasformazione lineare, ovvero considerando la variabile aleatoria $Y=a+(b-a)X$ al posto di $X$. In particolare, la variabile aleatoria 1-X segue la stessa distribuzione $𝒰(0,1)$.

In questo caso la densità di probabilità diventa

$f(x)=1$ su $I$,

la funzione di ripartizione è

$F(x)=x$ su $I$,

e la probabilità di un intervallo $[x_1,x_2]\subset I$ è pari alla sua lunghezza:

$P([x_1,x_2])=x_2-x_1$

(nel caso generale la probabilità di un intervallo è proporzionale alla sua lunghezza).

Per il calcolo delle probabilità i singoli valori f(0) e f(1) sono ininfluenti: basta che la densità di probabilità resti invariata quasi ovunque. Talvolta vengono posti pari a 0, prendendo la funzione indicatrice dell'intervallo aperto $]0,1[$, o a 1/2, prendendo come densità di probabilità la funzione rettangolo (in questo caso la distribuzione è anche chiamata distribuzione rettangolare).

Caratteristiche

Se X è una variabile aleatoria di distribuzione uniforme $𝒰(0,1)$, allora $Y=a+(b-a)X$ è una variabile aleatoria di distribuzione uniforme $𝒰(a,b)$, le cui caratteristiche si ricavano facilmente da quelle di X.

Le due variabili aleatorie hanno

• speranza matematica

$E[X]=\frac{1}{2},E[Y]=a+(b-a)E[X]=\frac{a+b}{2}$;

• varianza

$\text{Var}(X)=\frac{1}{12},\text{Var}(Y)=(a-b{)}^2\text{Var}(X)=\frac{(a-b{)}^2}{12}$;

• funzione caratteristica

${\varphi }_X(t)=E[e^{itX}]=\frac{e^{it}-1}{it},{\varphi }_Y(t)=e^{iat}{g}_X((b-a)t)=\frac{e^{ibt}-e^{iat}}{ibt-iat}$;

• funzione generatrice dei momenti

$g_X(t)=E[e^{tX}]=\frac{e^t-1}{t},g_Y(t)=e^{at}{g}_X((b-a)t)=\frac{e^{bt}-e^{at}}{bt-at}$;

Dalla funzione generatrice dei momenti si ricavano (per il più generale Y) i momenti semplici

${\mu }_n(Y)=\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{(n+1)(b-a)}$;

siccome la variabile aleatoria centrata $Y-E[Y]$ segue una distribuzione uniforme su $[-\frac{b-a}{2},\frac{b-a}{2}]$, si ricavano immediatamente i momenti centrali di Y

$m_n(Y)={\mu }_n(Y-E[Y])=\{\begin{array}{cc}\frac{(b-a{)}^n}{(n+1)2^n}& n=2k\\ 0& n=2k+1\end{array}.$

In particolare si trovano gli indici di asimmetria e di curtosi

${\gamma }_1(Y)=0,{\gamma }_2(Y)=-\frac{6}{5}$.

Infine, l'entropia di Y è

$H(Y)=\log (b-a)$.

Altre distribuzioni

Ogni distribuzione di probabilità univariata (cioè sui numeri reali) è legata alla distribuzione uniforme $𝒰(0,1)$. Se X segue la distribuzione uniforme su $[0,1]$ ed F è una qualunque funzione di ripartizione, prendendo la funzione

$F^{-1}(x)=\inf \{y\in ℝ:F(y)⩾x\}$

si può definire una variabile aleatoria

$Y=F^{-1}(X)$

che ha proprio F come funzione di ripartizione.

Ad esempio, $Y=-\frac{\log X}{\lambda }$ segue la distribuzione esponenziale $ℰ(\lambda )$.

In informatica questa proprietà viene chiamata metodo dell'inversione e viene utilizzata per trasformare un generatore "casuale" di campioni per X in un generatore di campioni per Y.

La somma $X_1+X_2$ di due variabili aleatorie variabili indipendenti con la medesima distribuzione uniforme $𝒰(a,b)$ segue una distribuzione triangolare simmetrica (distribuzione di Simpson).

Più in generale, la distribuzione di Irwin-Hall descrive la somma $X_1+...+X_n$ di n variabili aleatorie variabili indipendenti con la medesima distribuzione uniforme $𝒰(0,1)$.

La distribuzione Beta $\mathrm{B}(1,1)$ corrisponde alla distribuzione uniforme $𝒰(0,1)$. Inoltre, se X segue questa distribuzione uniforme, allora $Y=1-\sqrt[n]{X}$ segue la distribuzione Beta $\mathrm{B}(1,n)$.

Il parallelo della distribuzione continua uniforme tra le distribuzioni discrete è la distribuzione discreta uniforme, definita su un insieme finito S, che attribuisce ad ogni suo sottoinsieme una probabilità di verificarsi pari alla propria cardinalità. (In altri termini è la stessa definizione, con una diversa misura.)

Voci correlate

• Distribuzione continua
• Distribuzione discreta uniforme
• Funzione di ripartizione
• Sigma-algebra
• Metodo dell'inversione

Collegamenti esterni

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