Integrale di Eulero

In matematica esistono due funzioni speciali note come integrali di Eulero:

1. l'integrale di Eulero del primo tipo: la funzione beta di Eulero
   $\mathrm{\beta }(x,y)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}dt$.
2. l'integrale di Eulero del secondo tipo: la funzione gamma di Eulero
   $\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{z-1}{e}^{-t}dt$.

Tramite il teorema di Fubini si dimostra un'importante relazione che lega le due funzioni e permette di esprimere la funzione beta rispetto alla funzione gamma, mostrando inoltre in maniera immediata la simmetria della beta:

$\beta (x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\cdot \mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)}$.

La funzione gamma è un'estensione del fattoriale ai numeri reali e ai complessi; per tale motivo le due funzioni assumono un'espressione più semplice nel dominio dei numeri naturali ($m,n\in \mathbb{N}$):

$\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$

$\mathrm{\beta }(n,m)=\frac{(n-1)!(m-1)!}{(n+m-1)!}=\frac{n+m}{nm(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{n})}$.

Voci correlate

• Integrale di Gauss
• Integrale di Fresnel
• Approssimazione di Stirling