Funzione localmente integrabile

In matematica, una funzione localmente integrabile è una funzione che è integrabile su ogni sottoinsieme compatto del dominio.

Detto $U$ un insieme aperto nello spazio euclideo ${ℝ}^n$ e $f:U\to ℂ$ una funzione misurabile rispetto alla sigma-algebra di Lebesgue, se l'integrale di Lebesgue:

$\underset{K}{\int }|f|d\mu$

esiste finito per ogni sottoinsieme compatto $K$ in $U$, allora $f$ è detta localmente integrabile.

Le funzioni localmente integrabili giocano un ruolo importante nella teoria delle distribuzioni, e compaiono nel teorema di Radon-Nikodym.

Definizione alternativa

Sia $\mathrm{\Omega }$ un insieme aperto di ${ℝ}^n$ e $C_c^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$ l'insieme delle funzioni infinitamente differenziabili $\phi :\mathrm{\Omega }\to ℂ$ a supporto compatto definite su $\mathrm{\Omega }$. Una funzione $f:\mathrm{\Omega }\to ℂ$ tale che:

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|f\phi |\mathrm{d}x<+\mathrm{\infty },\mathrm{\forall }\phi \in C_c^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$

è detta localmente integrabile. L'insieme di tutte queste funzioni è denotato con $L_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^1(\mathrm{\Omega })$.

Questa definizione trova le sue radici nell'approccio alla teoria della misura e dell'integrazione basato sul concetto di operatore lineare continuo in uno spazio vettoriale topologico, sviluppato dal gruppo Nicolas Bourbaki e altri, ed utilizzato spesso nell'ambito dell'analisi funzionale. In particolare la definizione di funzionali lineari tramite integrali di nucleo $f$ è una pratica utilizzata nella teoria delle distribuzioni, dove in tal caso le funzioni $\phi$ sono dette funzioni di test.

Si tratta di una definizione equivalente a quella standard, data in apertura, ossia:

$\underset{K}{\int }|f|\mathrm{d}x<+\mathrm{\infty },\mathrm{\forall }K\subset \mathrm{\Omega },K\text{ compatto}$

se e solo se:

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|f\phi |\mathrm{d}x<+\mathrm{\infty },\mathrm{\forall }\phi \in C_{\mathrm{c}}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega }).$

Dimostrazione

Infatti, sia $\phi \in C_c^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$. Essendo una funzione misurabile limitata dalla sua norma uniforme $\Vert \phi \Vert$ ed avendo un supporto $K$ compatto per la definizione standard, si ha:

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|f\phi |\mathrm{d}x=\underset{K}{\int }|f||\phi |\mathrm{d}x\le \Vert \phi {\Vert }_{\mathrm{\infty }}\underset{K}{\int }|f|\mathrm{d}x<+\mathrm{\infty }.$

Per mostrare l'implicazione inversa, sia $K$ un sottoinsieme compatto di $\mathrm{\Omega }$. Si vuole innanzitutto costruire una funzione di test ${\phi }_K\in C_c^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$ che maggiora la funzione indicatrice ${\chi }_K$ di $K$. La distanza (insiemistica) tra $K$ e la sua frontiera $\partial K$ è strettamente maggiore di zero, ovvero:

$\mathrm{\Delta }:=d(K,\partial \mathrm{\Omega })>0$

ed è quindi possibile scegliere un numero reale $\delta$ tale per cui $\mathrm{\Delta }>2\delta >0$ (se $\partial K$ è vuoto si prende $\mathrm{\Delta }=\mathrm{\infty }$). Siano ora $K_{\delta }$ e $K_{2\delta }$ gli intorni chiusi di $K$ aventi rispettivamente raggio $\delta$ e $2\delta$. Essi sono compatti e soddisfano:

$K\subset K_{\delta }\subset K_{2\delta }\subset \mathrm{\Omega },d(K_{\delta },\partial \mathrm{\Omega })=\mathrm{\Delta }-\delta >\delta >0.$

Grazie alla convoluzione $*$ si definisce la funzione ${\phi }_K\in C_c^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$ come:

${\phi }_K(x)={\chi }_{K_{\delta }}\ast {\phi }_{\delta }(x)=\underset{{ℝ}^n}{\int }{\chi }_{K_{\delta }}(y){\phi }_{\delta }(x-y)\mathrm{d}y,$

dove ${\phi }_{\delta }$ è un mollificatore. Dal momento che ${\phi }_K(x)=1$ per tutti gli $x\in K$ si ha che ${\chi }_K\le {\phi }_K$.

Se $f$ è una funzione localmente integrabile rispetto alla seconda definizione si ha:

$\underset{K}{\int }|f|\mathrm{d}x=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|f|{\chi }_K\mathrm{d}x\le \underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|f|{\phi }_K\mathrm{d}x<+\mathrm{\infty }$

e poiché questo vale per ogni sottoinsieme compatto $K$ di $\mathrm{\Omega }$, $f$ è localmente integrabile anche rispetto alla prima definizione.

Generalizzazione

Sia $\mathrm{\Omega }$ un aperto di ${ℝ}^n$ e $f:\mathrm{\Omega }\to ℂ$ una funzione misurabile rispetto alla sigma-algebra di Lebesgue. Se per un dato $p$ tale che $1\le p\le +\mathrm{\infty }$ la funzione $f$ soddisfa:

$\underset{K}{\int }|f{|}^p\mathrm{d}x<+\mathrm{\infty },$

ossia appartiene allo spazio $L^p(K)$ per tutti i sottoinsiemi compatti di $\mathrm{\Omega }$, allora $f$ è localmente $p$-integrabile. L'insieme di tutte le funzioni di questo tipo si indica con $L_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^p(\mathrm{\Omega })$.

Proprietà

Completezza dello spazio metrico L^p_loc

Lo spazio $L_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^p$ è uno spazio metrico completo per $p\ge 1$. La sua topologia può essere generata dalla famiglia di metriche:

$d(u,v)=\sum _{k\ge 1}\frac{1}{2^k}\frac{\Vert u-v{\Vert }_{p,{\omega }_k}}{1+\Vert u-v{\Vert }_{p,{\omega }_k}},u,v\in L_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^p(\mathrm{\Omega }),$

dove $\{{\omega }_k{\}}_{k\ge 1}$ è una famiglia di insiemi non vuoti tale che:

• ${\omega }_k⊊{\omega }_{k+1}$, ossia ${\omega }_k$ è strettamente incluso in ${\omega }_{k+1}$.
• $\bigcup _k{\omega }_k=\mathrm{\Omega }$.
• Le funzioni $\Vert \cdot {\Vert }_{p,{\omega }_k}:L_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^p(\mathrm{\Omega })\to {ℝ}^{+}$, con $k\in \mathbb{N}$, sono una famiglia indicizzata di seminorme definita come:

$\Vert u{\Vert }_{p,{\omega }_k}=\underset{{\omega }_k}{\int }|u{|}^p\mathrm{d}x,\mathrm{\forall }u\in L_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^p(\mathrm{\Omega }).$

L^p come sottospazio di L^p_loc per p ≥ 1

Ogni funzione $f\in L^p$, dove $1\le p\le +\mathrm{\infty }$ e $\mathrm{\Omega }$ è un aperto di ${ℝ}^n$, è localmente integrabile.

Per mostrare questo fatto, data la semplicità del caso $p=1$ si assume nel seguito $1<p\le +\mathrm{\infty }$. Considerando la funzione indicatrice ${\chi }_k$ del sottoinsieme compatto $K\subset \mathrm{\Omega }$, si ha:

${\left|\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|{\chi }_K{|}^q\mathrm{d}x\right|}^{1/q}={\left|\underset{K}{\int }\mathrm{d}x\right|}^{1/q}=|\mu (K){|}^{1/q}<+\mathrm{\infty },$

dove $q$ è un numero positivo tale che $1/p+1/q=1$ per un dato $1\le p\le +\mathrm{\infty }$, e $\mu (K)$ è la misura di Lebesgue di $K$. Allora, per la disuguaglianza di Hölder il prodotto $f{\chi }_K$ è una funzione integrabile, ossia appartiene a $L^1(\mathrm{\Omega })$ e:

$\underset{K}{\int }|f|\mathrm{d}x=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|f{\chi }_K|\mathrm{d}x\le {\left|\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|f{|}^p\mathrm{d}x\right|}^{1/p}{\left|\underset{K}{\int }\mathrm{d}x\right|}^{1/q}=\Vert f{\Vert }_p|\mu (K){|}^{1/q}<+\mathrm{\infty }.$

Quindi $f\in L_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^1(\mathrm{\Omega })$. Si nota che dal momento che vale:

$\underset{K}{\int }|f|\mathrm{d}x=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|f{\chi }_K|\mathrm{d}x\le {\left|\underset{K}{\int }|f{|}^p\mathrm{d}x\right|}^{1/p}{\left|\underset{K}{\int }\mathrm{d}x\right|}^{1/q}=\Vert f{\Vert }_p|\mu (K){|}^{1/q}<+\mathrm{\infty }.$

Il teorema si applica anche quando $f$ appartiene solo allo spazio delle funzioni localmente $p$-integrabili, e pertanto si ha come corollario che ogni funzione $f\in L_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^p$, dove $1<p\le +\mathrm{\infty }$, è localmente integrabile, ovvero appartiene a $f\in L_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^1$.

Esempi

• Ogni funzione integrabile (globalmente) in $U$ è localmente integrabile, cioè:

$L^1(U)\subset L_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^1(U).$

• Più generalmente, ogni funzione in $L^p(U)$, con $1\le p\le +\mathrm{\infty }$ è localmente integrabile:

$L^p(U)\subset L_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^1(U).$

• La funzione costante a $1$ definita sulla retta reale è localmente integrabile, ma non globalmente. Più generalmente, le funzioni continue sono localmente integrabili.
• La funzione $f(x)=1/x$ per $x\ne 0$ e $f(0)=0$ non è localmente integrabile su $ℝ$, perché la condizione cade negli intervalli contenenti l'origine, mentre la sua restrizione a $(0,+\mathrm{\infty })$appartiene a $L_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^1(0,+\mathrm{\infty })$.

Bibliografia

• Template:En S. Saks, Theory of the integral , Hafner (1952)
• Template:En G.P. Tolstov, On the curvilinear and iterated integral Trudy Mat. Inst. Steklov. , 35 (1950) pp. 1–101

Voci correlate

• Distribuzione (matematica)
• Funzione a supporto compatto
• Funzione di test
• Funzione integrabile
• Funzione misurabile
• Insieme compatto
• Integrale di Lebesgue
• Spazio Lp

Collegamenti esterni

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