Mollificatore

Un mollificatore a supporto contenuto nell'intervallo [-1,1]

In matematica, più precisamente in analisi funzionale, un mollificatore è una funzione di variabile reale che soddisfa certe proprietà di regolarità e di limitatezza del supporto.

Le successioni di mollificatori sono usate spesso per approssimare (in un senso ben preciso) funzioni che presentano delle discontinuità o degli "angoli" mediante funzioni più regolari, che localmente sono costruite tramite una media integrale del valore della funzione nel punto.

Definizione

Un mollificatore è una funzione $\rho :{ℝ}^n\to ℝ$ che soddisfa le seguenti proprietà:

• $\rho \in C^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)$
• $\text{supp}(\rho )\subset B(0,\frac{1}{n})$
• $\rho \ge 0$
• $\underset{{ℝ}^n}{\int }\rho =1$

dove con $\text{supp}(\rho )$ si intende il supporto di $\rho$, cioè la chiusura dell'insieme di punti dove $\rho$ non si annulla, e $B(0,\frac{1}{n})$ è la palla centrata nell'origine di raggio $1/n$.

Si dimostra che esistono infinite successioni di mollificatori; una possibile costruzione è la seguente:

${\rho }_1(x)=\{\begin{array}{cc}{e}^{\frac{1}{||x|{|}^2-1}}& \text{ se }||x||<1\\ 0& \text{ se }||x||\ge 1\end{array}$

${\rho }_n(x)=c_n{\rho }_1(nx)$

dove $c_n$ è una costante che normalizza l'integrale a 1.

Proprietà e utilizzi

In alto: un mollificatore. In basso, una funzione irregolare in rosso e la sua regolarizzata in blu

In analisi funzionale e teoria delle distribuzioni si lavora di solito con funzioni "regolari", cioè possedenti un certo numero di derivate, costruendo strumenti per estrapolare informazioni e dare risultati su esse. Se ciò non è possibile, si tenta di "regolarizzare" una funzione, cioè approssimarla con funzioni regolari, che tendano alla funzione originaria in una certa topologia funzionale.

I mollificatori si prestano bene allo scopo: se ad es. $u:{ℝ}^n\to ℝ$ è la funzione da regolarizzare (ad esempio localmente integrabile), allora la funzione:

$\rho *u(x)=\underset{{ℝ}^n}{\int }\rho (y)u(x-y)dy$

per le proprietà della convoluzione è liscia e dunque altamente regolare. Tale funzione si presenta come una media pesata dei valori di $u$ per punti vicini a $x$, in quanto per definizione di $\rho$ l'integranda è non nulla solo in una palla centrata in $x$ di raggio $1/n$ e assume valori massimi (che quindi per l'integrale "contano" di più) per valori molto vicini a $x$.

La bontà di questa costruzione è assicurata dai seguenti risultati:

• Se $u$ è continua allora ${\rho }_n*u$ converge a $u$ uniformemente sui compatti.

• Se $u\in L^p({ℝ}^n)$, con $p<\mathrm{\infty }$, allora ${\rho }_n*u$ converge a $u$ in norma $L^p$.

Quest'ultimo risultato consente anche di dimostrare che lo spazio delle funzioni test è denso sia in $L^p$ che nello spazio di Sobolev $W^{1,p}$ per $p<\mathrm{\infty }$.

Bibliografia

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Voci correlate

• Convoluzione
• Funzione di cutoff
• Funzione test
• Spazio Lp
• Spazio di Sobolev