Funzione gradino di Heaviside

La funzione gradino di Heaviside, usando la convenzione della metà del massimo

In matematica e fisica, la funzione gradino di Heaviside o funzione a gradino unitaria, il cui nome si deve a Oliver Heaviside, è una funzione discontinua che ha valore zero per argomenti negativi e uno per argomenti positivi. Può essere definita sia come una funzione continua a tratti o come una distribuzione.

La derivata distribuzionale della funzione di Heaviside $H$ è la delta di Dirac $\delta (x)$:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}H(x)=\delta (x),$

mentre la funzione rampa $R$ ne è la primitiva:

$R(x):=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}H(\xi )\mathrm{d}\xi =xH(x).$

La funzione a gradino è usata nella matematica della teoria del controllo e nell'elaborazione dei segnali per rappresentare un segnale che si attiva a partire da un tempo specificato e rimane attivo indefinitamente.

Inoltre tale funzione è utilizzata in fluidodinamica per lo studio di flussi multifase con interfaccia sharp.

Definizione

Si indica con:

$\mathrm{\Theta }(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x<0\\ 1,& x⩾0.\end{array}$

Spesso, al posto di $\mathrm{\Theta }(x)$, si usano le notazioni ${\delta }^{(-1)}(x)$, $u(x)$ o $h(x)$, o ancora, con abuso di notazione, $1(x)$.

Se viene definita come una distribuzione, è la funzione $\mathrm{\Theta }(x)$ tale per cui:

$\int \mathrm{\Theta }(x)f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=-f(0),$

dove $f^{\prime }$è la derivata di una funzione sufficientemente liscia che decresce all'infinito con andamento sufficientemente rapido.

Una rappresentazione integrale della funzione gradino è la seguente:

$\mathrm{\Theta }(x)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }(-\frac{1}{2\pi i}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{\tau +i\epsilon }{e}^{-ix\tau }\mathrm{d}\tau ).$

Si tratta della funzione di ripartizione di una variabile casuale che è quasi sicuramente 0 (vedi variabile casuale degenere).

La funzione di Heaviside è l'integrale della delta di Dirac:

$\mathrm{\Theta }(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\delta (t)\mathrm{d}t.$

Il valore di $\mathrm{\Theta }(0)$ non è del tutto standard: alcuni scrittori assumono $\mathrm{\Theta }(0)=0$, altri $\mathrm{\Theta }(0)=1.$ La scelta più utilizzata rimane comunque $\mathrm{\Theta }(0)=1/2$ perché permette di ridefinire la funzione di Heaviside attraverso la funzione segno. Questo ne dà una definizione più generale:

$\mathrm{\Theta }(x)=\frac{1}{2}(1+\mathrm{sgn}x)=\{\begin{array}{cc}0,& x<0\\ \frac{1}{2},& x=0\\ 1,& x>0.\end{array}$

Per rimuovere l'ambiguità sul valore di $\mathrm{\Theta }(0)$ da utilizzare, si può scrivere un pedice che lo specifica:

${\mathrm{\Theta }}_n(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x<0\\ n,& x=0\\ 1,& x>0.\end{array}$

Tuttavia la stessa notazione è usata per indicare un gradino ritardato:

${\mathrm{\Theta }}_T(t)=\mathrm{\Theta }(t-T).$

Il prodotto di una funzione per la funzione $\mathrm{\Theta }$ dà una funzione unilatera.

Forma discreta

Si può anche definire una forma alternativa del gradino unitario come funzione di una variabile discreta $n$:

$\mathrm{\Theta }[n]=\{\begin{array}{cc}0,& n<0\\ 1,& n\ge 0,\end{array}$

dove $n$ è intera. Questa funzione è la somma fino a $n$ della delta di Kronecker:

$\mathrm{\Theta }[n]=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^n\delta [k],$

dove $\delta [k]={\delta }_{k,0}$ è la delta di Dirac.

Trasformata di Fourier

Un altro modo per scrivere il gradino di Heaviside è

$\mathrm{\Theta }(t)=\underset{\alpha \to 0}{\lim }\exp (-t{\alpha }^{|t|/t})$

la cui trasformata di Fourier è:

$\tilde{\mathrm{\Theta }}(t)=\frac{1}{i\omega }+\pi \delta (\omega ),$

dove $\delta (\omega )$è la delta di Dirac. Cioè lo spettro in frequenza del gradino di Heaviside è $1/(i\omega )$ eccetto che in $\omega =0$, dove è presente una singolarità in cui è concentrato lo spettro.

Bibliografia

• Template:Cita libro
• Template:En Bracewell, R. "Heaviside's Unit Step Function, H(x)." The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 61-65, 2000.
• Template:Cita libro
• Template:En Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Unit-Step u(x-a) and Related Functions." Ch. 8 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 63-69, 1987.

Voci correlate

• Delta di Dirac
• Funzione gradino
• Funzione rettangolo
• Funzione segno

Collegamenti esterni

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