Funzione gradino

Template:F In matematica, una funzione reale si dice funzione a gradino o funzione a gradinata o funzione a scala se è costante a tratti.

Ad esempio, la funzione seguente è a gradino:

$F:ℝ\to [0,1],x\mapsto \{\begin{array}{cc}0& x<0\\ 0,2& x\in [0,2)\\ 0,6& x\in [2,4)\\ 1& x\ge 4\end{array}$

In generale, detta $A_i=[x_i,x_{i+1}),i\in I,-\mathrm{\infty }\le x_i\le +\mathrm{\infty }$ una partizione - finita o infinita a seconda della cardinalità di $I$- del dominio, allora $f:A\subseteq ℝ\to ℝ$ è detta a gradino se esistono ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\in ℝ$ tali che:

$f(x)=\sum _{i\in I}{\alpha }_i\cdot {\chi }_{A_i}(x)$

dove ${\chi }_{A_i}(x)$ è la funzione indicatrice dell'insieme $A_i$, cioè

$f_{/A_i}(x)={\alpha }_i\mathrm{\forall }x\in A_i$

Una funzione a gradino non è altro che una combinazione lineare di funzioni indicatrici.

Proprietà

Una funzione a gradino non è generalmente continua, come è facile notare, ma è comunque continua quasi ovunque (possiede un numero finito o numerabile di discontinuità) e dunque è integrabile secondo Riemann; il suo integrale è

$\int f(x)\mathrm{d}x=\sum _{i\in I}{\alpha }_i(x_{i+1}-x_i)$,

cioè, come è immaginabile, l'area sottesa è la somma delle aree dei singoli rettangolini di base $(x_{i+1}-x_i)$ e altezza ${\alpha }_i$.

Dall'integrale di particolari funzioni a gradino Riemann partirà poi per la costruzione del suo integrale.

Voci correlate

• Funzione gradino di Heaviside
• Funzione segno
• Funzione semplice, la generalizzazione dell'argomento in uno spazio misurabile
• La funzione di ripartizione di una variabile casuale discreta è una funzione a gradino
• Integrale di Riemann

Collegamenti esterni

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