Funzione definita a tratti

Template:F In matematica una funzione definita a tratti (o semplicemente funzione a tratti) è una funzione definita da varie sottofunzioni, ciascuna delle quali è definita su un certo sottodominio, cioè su un sottoinsieme del dominio della funzione definita a tratti. Questi sottodomini formano una partizione del dominio della funzione definita a tratti.

Notazione

Una funzione definita a tratti tipica è la funzione valore assoluto. La notazione standard è la seguente:

$|x|=\{\begin{array}{cc}-x,& \text{se }x<0,\\ x,& \text{se }x\ge 0.\end{array}$

La funzione è definita dalle sottofunzioni $-x$ e $x$, valide rispettivamente negli intervalli $(-\mathrm{\infty },0)$ e $[0,\mathrm{\infty })$.

Continuità

Una funzione a tratti composta da funzioni quadratiche diverse ai due lati del punto $x_0$

Una funzione definita a tratti è continua su un dato intervallo se rispetta le seguenti condizioni:

• la funzione è definita su tutto l'intervallo;
• le sottofunzioni sono continue nei sottodomini;
• non ci sono discontinuità nella frontiera di ciascun sottodominio.

La funzione in figura, ad esempio, è continua nei sottointervalli $(-\mathrm{\infty },x_0)$ e $[x_0,+\mathrm{\infty })$ in cui è definita a tratti, ma non è continua nell'intero dominio, dato che contiene un punto di discontinuità a salto: il punto $x_0$.

Esempi

Le seguenti funzioni sono definite a tratti:

• funzioni a gradino, funzioni definite da sottofunzioni costanti;
  • funzione gradino di Heaviside;
  • funzione segno;
• funzioni lineari a tratti, definite da sottofunzioni lineari;
  • valore assoluto;
• funzione spline, funzione costituita da un insieme di polinomi raccordati tra loro, il cui scopo è interpolare in un intervallo un insieme di punti, in modo tale che la funzione sia continua almeno fino ad un dato ordine di derivate in ogni punto dell'intervallo.

Collegamenti esterni

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