Spazio di Schwartz

In matematica, lo spazio di Schwartz o spazio delle funzioni a decrescenza rapida è lo spazio funzionale delle funzioni lisce le cui derivate (e le funzioni stesse) decrescono più velocemente di un qualsiasi potenza di 1/x. Prende il nome del matematico Laurent Schwartz.

Indicato con $𝒮$, è caratterizzato dall'importante fatto che su di esso la trasformata di Fourier è un automorfismo e grazie a questa proprietà è possibile definire la trasformata di Fourier sugli elementi nello spazio duale di $𝒮$, che è lo spazio delle distribuzioni temperate.

Definizione

Data una funzione $f:{ℝ}^n\to ℂ$, si definisca:

$\Vert f{\Vert }_{\alpha ,\beta }=\underset{x\in {𝐑}^n}{\sup }|x^{\alpha }{D}^{\beta }f(x)|$

dove $\alpha$ e $\beta$ sono multiindici, e:

$D^{\beta }=\frac{{\partial }^{|\beta |}}{\partial x_1^{{\beta }_1}\cdots \partial x_n^{{\beta }_n}}$

Lo spazio di Schwartz $𝒮$ su $\mathrm{\Omega }$ è lo spazio funzionale:

$𝒮\left(\mathrm{\Omega }\right)=\{f\in C^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })\mid \Vert f{\Vert }_{\alpha ,\beta }<\mathrm{\infty }\mathrm{\forall }\alpha ,\beta \}$

dove $C^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$ è lo spazio delle funzioni con tutte le derivate continue da $\mathrm{\Omega }$ a $ℂ$. Su $𝒮$ consideriamo la topologia di spazio localmente convesso generato dalle seminorme $\Vert \cdot {\Vert }_{\alpha ,\beta }$.

Ad esempio, se i è un multiindice e $a$ è un numero reale positivo, allora $x^i{e}^{-a{x}^2}$ appartiene allo spazio di Schwartz. Anche ogni funzione $C^{\mathrm{\infty }}$ con supporto compatto appartiene a $𝒮$. Questo è evidente per la continuità di ogni derivata, quindi $(x^{\alpha }{D}^{\beta })f$ ha un massimo in ${ℝ}^n$.

Lo spazio duale ${𝒮}^{\prime }$ di $𝒮$ è lo spazio delle distribuzioni temperate.

Proprietà

• $𝒮$ è uno spazio vettoriale complesso, cioè chiuso rispetto a somma e moltiplicazione per scalari complessi.

• Usando la regola di Leibniz, segue che $𝒮$ è chiuso anche sotto moltiplicazione; se $f,g\in 𝒮$, allora $f\cdot g:x\mapsto f(x)g(x)$ appartiene ancora a $𝒮$.

• Per ogni $1\le p\le \mathrm{\infty }$, si ha che $𝒮\subset L^p,$ dove $L^p({ℝ}^n)$ rappresenta lo spazio Lp su ${ℝ}^n$. Le funzioni in $𝒮$ sono anche funzioni limitate.

• La trasformata di Fourier è un isomorfismo lineare $𝒮\to 𝒮$.

• Lo spazio di Schwartz è completo.

• $𝒮$ è denso in $L^2,$ perché per esempio la base hilbertiana di $L^2,$ $H_n(x)e^{-x^2/2}$ con $H_n$ i polinomi di Hermite appartiene a $𝒮$.
• Lo spazio delle funzioni di test è contenuto in $𝒮$.

Bibliografia

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Voci correlate

• Distribuzione (matematica)
• Norma (matematica)
• Spazio duale
• Spazio funzionale
• Trasformata di Fourier

Collegamenti esterni

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