Delta di Kronecker

In matematica per delta di Kronecker si intende una funzione di due variabili discrete, in particolare di due variabili sugli interi o sui naturali, che vale 1 se i loro valori coincidono, mentre vale 0 in caso contrario. La distribuzione delta di Dirac può essere considerata la sua estensione al caso continuo.

Con il suo nome si ricorda il matematico tedesco Leopold Kronecker (1823-1891).

Definizione

Il delta di Kronecker è abitualmente definito come il tensore ${\delta }_{ij}$ di componenti:

${\delta }_{ij}:=\{\begin{array}{cc}1,& \text{se }i=j,\\ 0,& \text{se }i\ne j.\end{array}$

Applicazioni

Il simbolo di Kronecker si incontra in numerose formule concernenti successioni, matrici o altri complessi di numeri espressi mediante indici. Ad esempio la matrice identità di dimensione $n$ si può definire come la matrice:

$\overline{\overline{1}}=({\delta }_{ij}{)}_{i,j=1,\dots ,n},$

che sta al posto di:

$\overline{\overline{1}}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right].$

Esso può anche essere usato per esprimere la relazione di ortonormalità di una base ortonormale di vettori $\{e_i{\}}_{i=1,\dots ,n}$:

$⟨e_i|e_j⟩={\delta }_{ij},$

dove $⟨\cdot |\cdot ⟩$ indica un prodotto scalare (o hermitiano).

Generalizzazioni

Può essere utile introdurre generalizzazioni del delta di Kronecker quando si trattano strutture algebriche dotate di zero e unità, ad esempio quando si considera il semianello dei linguaggi nel quale il linguaggio vuoto funge da zero e l'insieme di tutte le stringhe su un dato alfabeto $A$ funge da unità. Per applicazioni come le descrizioni di certi automi può essere conveniente servirsi di una delta di Kronecker sui linguaggi $L$ e $M$ definita comeTemplate:Chiarire:

${\delta }_{LM}:=\{\begin{array}{cc}{A}^{*}& \text{se }L=M\\ \varnothing & \text{se }L\ne M\end{array}$.

Voci correlate

• Delta di Dirac
• Parentesi di Iverson

Collegamenti esterni

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