Funzione rampa

La funzione rampa è una funzione reale elementare, facilmente calcolabile come la media aritmetica della variabile indipendente e del suo valore assoluto.

Questa funzione è utilizzata nel campo dell'ingegneria (ad esempio, nella teoria del DSP). Il nome funzione rampa deriva dalla forma del suo grafico.

Definizioni

Grafico della funzione rampa

La funzione rampa $R(x):ℝ\to ℝ$ può essere definita analiticamente in svariati modi. Definizioni possibili sono le seguenti.

• Funzione definita a tratti:

$R(x):=\{\begin{array}{cc}x,& x\ge 0;\\ 0,& x<0.\end{array}$

• La media tra una linea retta con pendenza unitaria e il suo modulo:

$R(x):=\frac{x+|x|}{2},$

ciò può essere ottenuto notando la definizione seguente: $\max (a,b)=\frac{a+b+|a-b|}{2}$, per cui $a=x$ e $b=0.$

• La funzione gradino moltiplicata per una linea retta con pendenza unitaria:

$R\left(x\right):=xH\left(x\right).$

• La convoluzione della funzione gradino con sé stessa:

$R\left(x\right):=H\left(x\right)*H\left(x\right).$

• L'integrale della funzione gradino:

$R(x):=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}H(\xi )\mathrm{d}\xi .$

Proprietà analitiche

Non negatività

In tutto il dominio la funzione è non negativa $R(x)⩾0$ per ogni $x\in ℝ.$ Quindi la funzione è uguale al suo valore assoluto: $\left|R\left(x\right)\right|=R\left(x\right).$

Derivata

La sua derivata è la funzione gradino:

$R^{\prime }(x)=H(x)\mathrm{s}\mathrm{e}x\ne 0.$

Segue dalla quinta definizione.

Trasformata di Fourier

La trasformata di Fourier di $R(x)$ è:

$ℱ\{R(x)\}(f)$ $=$ $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}R(x)e^{-2\pi ifx}dx$ $=$ $\frac{i{\delta }^{\prime }(f)}{4\pi }-\frac{1}{4{\pi }^2{f}^2},$

dove $\delta (x)$ è la delta di Dirac.

Trasformata di Laplace

La trasformata di Laplace di $R(x)$ è:

$ℒ\left\{R\left(x\right)\right\}(s)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-sx}R(x)dx=\frac{1}{s^2}.$

Proprietà algebriche

Invarianza alle iterazioni

Ogni funzione iterata della rampa è uguale a sé stessa, cioè

$R\left(R\left(x\right)\right)=R\left(x\right).$

Dimostrazione: $R(R(x))=\frac{R(x)+|R(x)|}{2}=\frac{R(x)+R(x)}{2}=\frac{2R(x)}{2}=R(x).$

Collegamenti esterni

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