Teorema di Banach-Alaoglu

In matematica, teorema di Banach-Alaoglu o teorema di Banach-Alaoglu-Bourbaki è un risultato noto nell'ambito dell'analisi funzionale che afferma che, dato uno spazio di Banach separabile, ogni successione limitata nel suo duale ammette una sottosuccessione debolmente* convergente. Se si denota con $X$ lo spazio di Banach in questione, il teorema caratterizza la convergenza debole sul duale $X^{*}$, non testata su tutti gli elementi del biduale $X^{**}$ ma solo su quelli di $\tau (X)$, dove $\tau$ è la mappa canonica.

Prende il nome da Stefan Banach, Leonidas Alaoglu e Nicolas Bourbaki.

Il teorema di Bourbaki-Alaoglu generalizza il teorema al caso di topologie duali.

Il teorema

Sia $X$ uno spazio normato; il suo spazio duale $X^{*}$ è un altro esempio di spazio normato (con la norma operatoriale). Il teorema di Banach-Alaoglu stabilisce che la palla unitaria chiusa in $X^{*}$ è compatta rispetto alla topologia debole*.

Si tratta di una motivazione per avere diverse topologie su uno stesso spazio: la sfera unitaria nella topologia della norma è compatta se e solo se lo spazio è finito-dimensionale (si veda il lemma di Riesz).

Un caso speciale è la versione del teorema che utilizza la compattezza per successioni: la sfera unitaria chiusa di uno spazio normato separabile è sequenzialmente compatta nella topologia debole*. Infatti, la topologia debole* sulla sfera unitaria chiusa del duale di uno spazio separabile è metrizzabile, e quindi compattezza e compattezza sequenziale sono equivalenti. Nello specifico, sia $X$ uno spazio normato separabile e $B$ la sfera unitaria chiusa in $X^{*}$. Dato che $X$ è separabile, sia $\{x_n\}$ un suo sottoinsieme numerabile denso. Allora si può definire una metrica:

$\rho (x,y)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^{-n}\frac{|⟨x-y,x_n⟩|}{1+|⟨x-y,x_n⟩|},x,y\in B,$

dove $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ indica l'accoppiamento duale tra $X$ e $X^{*}$. Con un argomento diagonale simile a quello utilizzato per provare il teorema di Ascoli-Arzelà si mostra che $B$ con tale metrica è sequenzialmente compatto.

La versione "per successioni" del teorema è utilizzata nell'ambito delle PDE per costruire soluzioni di problemi variazionali: ad esempio, un metodo spesso utilizzato per minimizzare un funzionale $F:X^{*}\to ℝ$ definito sul duale di uno spazio vettoriale normato separabile $X$ è quello di costruire una successione $x_1,x_2,\dots \in X^{*}$ che si avvicina all'estremo inferiore dei valori assunti da $F$, e utilizzare il teorema per estrarre una sottosuccessione convergente nella topologia debole* al limite $x$, che si assume un "minimizzatore".

Se $X^{*}$ è lo spazio delle misure di Radon sulla retta reale (in modo che $X=C_0(ℝ)$ è lo spazio delle funzioni continue che si annullano all'infinito per il teorema di rappresentazione di Riesz) il teorema nella versione per successioni è equivalente al teorema di Helly.

Dimostrazione

Per ogni $x\in X$, siano:

$D_x=\{z\in ℂ:\left|z\right|\le \Vert x\Vert \},D={\mathrm{\Pi }}_{x\in X}{D}_x.$

Dato che ogni $D_x$ è un sottoinsieme compatto del piano complesso, $D$ è compatto anche nella topologia prodotto per il teorema di Tychonoff. Si può identificare in modo naturale la sfera unitaria chiusa $B_1(X^{*})$ in $X^{*}$ come un sottoinsieme di $D$:

$f\in B_1\left(X^{*}\right)\mapsto (f(x){)}_{x\in X}\in D.$

Si tratta di una mappa iniettiva e continua, di cui anche l'inversa (definita sull'immagine) è continua, con $B_1(X^{*})$ che possiede la topologia debole* e $D$ la topologia prodotto. Se si ha una rete:

$(f_{\alpha }(x){)}_{x\in X}\to ({\lambda }_x{)}_{x\in X}$

in $D$, allora il funzionale definito da

$g(x)={\lambda }_x$

è in $B_1(X^{*})$. Essendo l'immagine di $B_1(X^{\star })$ chiusa, il teorema è dimostrato.

Conseguenze

In uno spazio di dimensione finita, grazie al teorema di Bolzano-Weierstrass, da una successione limitata è sempre possibile estrarre una sottosuccessione convergente. Questa proprietà delle successioni limitate risulta utile per dimostrare alcuni teoremi fondamentali nell'analisi matematica. Purtroppo tale teorema non è più vero se lo spazio ha dimensione infinita. Ad esempio la successione dei versori nello spazio $L^{\mathrm{\infty }}$ è limitata ma non ammette sottosuccessioni convergenti. Grazie al teorema di Banach-Alaoglu-Bourbaki la successione ammette per lo meno una sottosuccessione debolmente* convergente.

Generalizzazione

Il teorema di Bourbaki-Alaoglu è una generalizzazione che si deve a Nicolas Bourbaki per topologie duali. Dato uno spazio localmente convesso separabile $X$ avente duale continuo $X^{\prime }$, l'insieme polare $U^0$ di ogni intorno $U$ in $X$ è compatto nella topologia debole $\sigma (X^{\prime },X)$ su $X^{\prime }$.

Bibliografia

• Template:Cita libro
• Template:Cita libro Chapter 5, section 3.
• Template:Cita libro Section 3.15, p. 68.

Voci correlate

• Spazio di Banach
• Spazio duale
• Spazio normato
• Spazio separabile
• Topologia duale
• Topologia polare
• Topologia operatoriale